不出意外，動點問題還會是今年中考的熱點，考生要做好準備

動點有關綜合問題是指圖形中存在一個或多個動點，它們是在某條線段、射線或弧線上運動的，從而引起另一圖形的變化，從運動變化的角度來研究、探索發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理，是一類開放性題目。對考生的觀察能力和創新能力要求較高，題目的難度一般比較大，是全國各省市中考數學試題的熱點題型。

不出意外的話，估計此類試題依然是今年中考命題的熱點，解決這類問題的關鍵是動中求靜，在變化中找到不變的性質是解決動點問題的基本思路，這也是動點有關綜合問題中最核心的解題思想。

動點有關綜合問題其特點是集幾何、函數等知識於一體，藴含數形結合等數學思想方法，綜合性非常的強。此類問題靈活多變，動中有靜，動靜結合。

中考通過試題的設置，能夠在運動變化中考查考生的空間想象能力，起到選拔人才的效果，已經成為中考數學命題的熱點，大多數情況都是以壓軸題的形式出現。

我們通過對試題的分析和研究，發現解動點有關綜合問題基本策略：

一是學會動中求靜，即在運動變化中探索問題中的不變性；

二是學會動靜互化，抓住“靜”的瞬間，找出導致圖形或變化規律發生改變的特殊時刻；同時在運動變化的過程中尋找不變性及變化規律。

簡單地説，解決此類問題要先畫出各個關鍵時刻的圖形，再由“動”變“靜”設法分別求解。有時候還需要用到分類討論的思想去解決問題，畫出不同種情況的圖形，可以幫助我們理清思路，突破關鍵難點。

動點有關綜合問題講解，典型例題分析1：

如圖，在平面直角座標系中，四邊形OABC是平行四邊形，直線l經過O、C兩點，點A的座標為（8，0），點B的座標為（11，4），動點P在線段OA上從點O出發以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發以每秒2個單位的速度沿A  B  C的方向向點C運動，過點P作PM垂直於x軸，與折線O—C—B相交於點M，當P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒（t > 0），△MPQ的面積為S．

（1）點C的座標為____________，直線l的解析式為_____________；

（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關係式，並寫出相應的t的取值範圍．

（3）試求題（2）中當t為何值時，S的值最大，並求出S的最大值．

（4）隨着P、Q兩點的運動，當點M在線段BC上運動時，設PM的延長線與直線l相交於點N．試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．

考點分析：

二次函數；一次函數；三角形面積；最值；分類討論；壓軸題。

題幹分析：

⑴由題意不難得出點C的座標為(3，4)．因為直線l經過O、C兩點，所以設其解析式，將點C(3，4)代入，解得k=4/3，所以直線l 的解析式為y=4x/3．

⑵求 S與t的函數關係式，關鍵是確定MP及點Q到MP的距離．根據題意，得OP＝t， AQ＝2t， 根據動點的運動過程，需分三種情況來討論．

⑶根據題（2）中S與t的函數關係，先分別求出①當0＜t≤5/2時；②當5/2＜t≤3時；③當3＜t＜16/3時， t為何值時，S的值最大，並求出S的最大值．最後綜合上述各情況判斷得出t為何值時， S的最大值．

⑷當NM＝MQ時，△QMN為等腰三角形．

考點分析：

根據題意合理分類，是學生解題中遇到的難點，也是易錯點．用分類討論的思想來研究動態型題是解此類問題常用的方法．

​解答動點有關綜合問題，我們要認真觀察幾何圖形，徹底弄清楚動點從何點開始出發，運動到何點停止，整個運動過程分為不同的幾段，何點(時刻)是特殊點(時刻)，這是準確解答的前提和關鍵。

動點有關的綜合問題講解，典型例題分析2：

已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C（0，12） 兩點，且對稱軸為直線x＝4．設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．

（1）求二次函數的解析式及頂點P的座標；

（2）如圖1，在直線 y＝2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的座標；若不存在，請説明理由；

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒√2個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB於點N．將△PMN沿直線MN對摺，得到△P1MN．在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒．求S關於t的函數關係式．

考點分析：

二次函數綜合題；綜合題。

題幹分析：

（1）利用對稱軸公式，A、C兩點座標，列方程組求a、b、c的值即可；

（2）存在．由（1）可求直線PB解析式為y＝2x－12，可知PB∥OD，利用BD＝PO，列方程求解，注意排除平行四邊形的情形；

（3）由P（4，－4）可知直線OP解析式為y＝－x，當P1落在x軸上時，M、N的縱座標為－2，此時t＝2，按照0＜t≤2，2＜t＜4兩種情形，分別表示重合部分面積．

解題反思：

本題考查了二次函數的綜合運用．求出二次函數解析式，研究二次函數的頂點座標及相關圖形的特點，是解題的關鍵。值得注意的是在計算動點在不同路段的函數解析式，一定要注意註明自變量的取值範圍，求出在特殊點的函數數值和自變量的值。

動點有關的綜合問題一般是指以幾何知識和圖形為背景，滲透運動變化觀點的一類試題，常見的運動對象有點動、線動、圖動；其運動形式有平動、旋轉、翻折、滾動等。

特別是跟函數有關的動點問題，當點運動到某一特殊位置時，利用某一線段長度或某一圖形的面積達到最值，或與某些點構成一個特殊的圖形。解題利用函數圖象上點座標的對應關係，用動點的座標表示出要求圖形的數量特徵(如線段的長度或圖形面積)，再利用函數性質或方程進行求解。