1道伊朗數學競賽題，考查30°直角三角形，看似簡單卻難住不少學霸

大家好！今天和大家分享一道伊朗數學奧林匹克競賽題，題目如下圖。這道題是考查含有30°的直角三角形的題目，一些學霸覺得題目簡單，但是依然難住了不少學霸，關鍵就在於不少考生沒能正確做出輔助線，而很多時候做輔助線是初中幾何題的重中之重，輔助線做好後就成功了一半。

下面介紹2種輔助線的做法，對應2種解法。

解法一

如下圖，過點D作DE⊥BC於E，作DF⊥AB於F，並設AB=CD=2y，BC=2AD=2x。

在直角三角形CDE中，因為∠BCD=30°，所以DE=CD/2=y，CE=√3DE=√3y，所以BE=BC-CE=2x-√3y。

在四邊形BEDF中，因為∠ABC=∠BDE=∠BFD=90°，所以四邊形BEDF為矩形，則有DF=BE=2x-√3y，BF=DE=y，所以AF=AB-BF=y。

在直角三角形ADF中，由勾股定理可得：AF²+DF²=AD²，即y²+(2x-√3y)²=x²，解得：√3x=2y。即cos∠BAD=AF/AD=y/x=√3/2，所以∠BAD=30°。

詳細過程見下圖：

解法二

延長CD交AB於點E，過點D作DF⊥AB於點F。為了計算方便，設BC=2AD=√3x，AB=CD=2y。

在直角三角形BCE中，因為∠BCE=30°，所以BE=x，CE=2x。

因為DF⊥AB，BC⊥AB，所以DF//BC，即∠FDE=30°。

因為CE=2x，CD=2y，所以DE=CE-CD=2x-2y。故在直角三角形FDE中，EF=x-y，DF=√3(x-y)。

又因為BF=BE-EF=x-(x-y)=y，所以AF=AB-BF=y，則在直角三角形ADF中，由勾股定理可得：AF²+DF²=AD²，即y²+[√3(x-y)]²=(√3x/2)²，整理得到：9x²-24x+16y²=0，即(3x-4y)²=0，即3x=4y。

所以cos∠BAD=AF/AD=y/(√3x/2)=√3/2，即∠BAD=30°。

完整過程見下圖：

這道伊朗奧賽題，作出輔助線後的解答其實並不是很難，但是在考場有限的時間裏作出輔助線也是一大考驗。你覺得這道題難嗎？