高中數學的精髓：數、函數與導數，顛覆很多人對高中數學的認識

對很多高中的學生特別是高三學生來説，整個高中數學最難的當屬函數和導數，同時函數與導數的相關題目也總作為壓軸題在考試中出現。函數與導數，涉及的內容多，考查的難度大，已經成為很多高中生、高考考生的“心病”。但函數與導數真的就這麼難嗎？當然不是！

今天筆者就和大家分享下對高中數學中這一部分相關知識和題目的理解，筆者從最簡單的“數”講起，探究函數的本源，説明數學中數、函數與導數之間的相互關係。

首先，我們來説“數”，我先問大家一個問題高中數學中的“數”分為幾種或幾類？可能很多學生會説有實數和複數，甚至有學生會説有有理數和無理數……其實統統不對，你仔細回想下自己做過的題目，特別是函數與導數部分較難的題目，就能知道我要説的“數”共分為三大類——常數、變數（量）和參數。

常數：我們最好理解的就是常數，就是一個不變的數，利用1、2、3、1/2、2^1/2等，同時一些字母如a、b、c、m等在一些情況下也是視為常數使用。例如：函數f(x)=mx,對其求導，大家應該都知道是f'(x)=m,之所以是這個結果，就是因為，我們把m視為常數，只對x進行了求導。

變數（量）：所謂變數（量）就是指變化的或不確定的數，我們最常見的兩個變量就是函數中的x與y,分別為自變量與因變量，其實就是自變數和因變數，學過函數的人都知道，函數就是一個非空數集到一個非空數集的映射，因而自變量和因變量就是兩個變數而已。

除了函數中有變數，整個高中數學其他我們見過有的變數的地方還有兩個，一是不等式中，如a^2+b^2>=2ab中，a與b就是變數；二是在方程中，包括一次方程、二次方程、函數方程及解析幾何中圓、直線、圓錐曲線的方程等，如橢圓方程中x^2/a^2+y^2/b^2=1中，x和y肯定都是變數。

參數：我們用到的參數比較特別，可以它兼具常數和變數的特性，利用在求導中其當成常數來用，最後求它的值時，這又是一個變數，所以我們平常做題時都是求一個參數的值或取值範圍。

在講到“數”的最後，我再給大家普及一個知識，數和數量到底有何不同，順便要告訴大家為什麼要在高中階段學習弧度制。“數”就是一個單純的數字，而“數量”則是“數+量綱”（可以簡單理解為“數加單位”）。如45度就是一個數量，因為它是由數字“45”和單位“度”共同組成的，這樣我們就能明白我們小學和初中用解方程做應用題時，我們要找的是等量關係而不是等數關係，因為這裏的“量”就是數量，應用題中都有單位。

那麼我們在高中數學中為什麼要角度制化成弧度呢？現在我們就能明白了，因為前面説了函數是非空數集到非空數集的映射，簡單來説就是研究數與數之間的關係，而角度制中的45度之類都是數量而不是數，只有改成了弧度制π/4才是個數，才能構成三角函數。

在明白了常數、變數、參數的分類後，我們結合考題就會發現發現，高中數學中關於數的問題，特別是函數與導數的問題，絕對脱離不開這三個“數”，因而我們拿到一道題目最先做的事就是要對其中涉及的數進行分類：哪些是常數，哪些是參數，哪些是變數。另外，根據經驗，如果考試中求一個數的取值範圍，那麼99.99%的可能性是求一個參數的取值範圍，求變數的取值範圍的也有，但基本都是定義域、值域和最值。

講完了這些理論，下面，我們就以題目來説明。直接看下面一道例題：

我們先對本題做個分析：

a、b、c肯定均為變數（未知數），而本題只有兩個方程，即三個變數（未知數）和兩個方程，我們肯定求不出a、b、c的具體值，所以本題讓我們求的是c的範圍。題目中a、b、c均為變數（未知數），並且未給出三者的大小關係，那麼a、b、c則為等價、平行關係，即本題求得的c的取值範圍其實和求得的a、b的取值範圍其實是完全一樣的。明白這些，我們開始解題，題目要我們求c的取值範圍，這肯定不是一個求定義域、值域的問題，而應該是求參數取值範圍的問題。那麼，我們就很快做出判斷，在本題中：a和b是變數，c是參數，為了讓大家更直觀認識，我們不妨把a和b換成我們最熟悉、常用的變數x和y,於是筆者就從此出發得到該問題的三個解法如下：

我們最後能將該題解出，最重要的原因就是我區分出了變數和參數，在做題前就確定了將c作為參數來處理，大家能從中感受到認識三個“數”的重要性了吧。

再切實瞭解了“數”之後，我們再看函數就非常簡單了，函數其實就是研究兩個變數之間的相互關係。但是處理函數使一定要注意兩個問題：第一，高中階段的函數有且只能有一個自變數（自變量），並且這個自變數要有範圍，即函數要有定義域；第二，函數要有明確的解析式，只有有了解析式，我們才能處理最值、範圍等問題，如果題目沒有明確給出的函數，我們這就需要找出一個函數關係式，這就是所謂的構造函數。

而導數則更加簡答 ，導數只是研究函數的一種工具，並且這種工具的功能只能是研究函數的單調性，因而大家千萬不要把導數想的多麼高大上、多麼複雜。為什麼説導數僅是研究函數單調性的一種工具呢？其實很簡單，整個高中我們學習的關於判斷和研究函數單調性的方法有以下幾種：定義法、圖像法、單調性的線性運算法（增加增為增、減加減為減、增減減為增、減減增為減）、複合函數的單調性（同增異減）和導數。所以，大家看到了吧，判斷和研究函數的單調性有五種方法或工具，導數只是其中之一而已。

並且筆者要告訴大家，既然導數只是一種工具，那麼什麼時候用導數最合適呢？很簡單，研究非基本初等函數才需要導數“出馬”，並且函數越複雜，導數就越顯示威力，基本初等函數都可以其他四種方法去解決單調性問題。

本文主要講解了數、函數、導數之間的相互關係，並且是以講“數”為主，今後的文章中筆者會繼續詳細講解函數、導數的“本源”問題。