楠木軒

三角形角平分線的夾角怎麼算?分幾種情況?

由 公冶爾藍 發佈於 經典

三角形角平分線的夾角分三種情況:內角平分線的夾角、內角平分線和外角平分線的夾角、外角平分線的夾角。

(1)內角平分線的夾角:∠D=90°+1/2∠BAC

已知:△ABC中,BD、CD分別為∠ABC和∠ACB的平分線.

求證:∠D=90°+1/2∠BAC.

證明:∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB(已知)

∴∠DBC=1/2∠ABC,∠DCB=1/2∠ACB(角平分線定義)

∴∠DBC+∠DCB=1/2(∠ABC+∠ACB)(等量代換)

∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)(三角形內角和定理)

=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)(等量代換)

=180°-1/2(180°-∠A)(三角形內角和定理)

=90°+1/2∠A(等式運算)

(2)內角平分線和外角平分線的夾角:∠E=1/2∠A

已知:∠ACD為△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.

求證:∠E=1/2∠A.

證明:∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD(已知)

∴∠EBC=1/2∠ABC,∠ECD=1/2∠ACD(角平分線定義)

∴∠E=∠ECD-∠EBC(三角形外角的性質)

=1/2(∠ACD-∠ABC)(等量代換)

=1/2∠A(三角形外角的性質)

(3)外角平分線的夾角:∠F=90°-1/2∠A

已知:AF、CF分別為△ABC的外角∠EAC、∠ACD的平分線.

求證:∠F=90°-1/2∠A

證明:∵∠EAC=∠B+∠ACB,∠ACD=∠B+∠BAC(三角形外角的性質)

∴∠EAC+∠ACD=∠B+∠ACB+∠B+∠BAC(等量代換)

=180°+∠B(三角形內角和定理)

∵AF平分∠EAC,CF平分∠ACD(已知)

∴∠FAC=1/2∠EAC,∠FCA=1/2∠ACD(角平分線定義)

∴∠F=180°-(∠FAC+∠FCA)(三角形內角和定理)

=180°-1/2(∠EAC+∠ACD)(等量代換)

=180°-1/2(180°+∠B)(等量代換)

=90°-1/2∠B(等式運算)

巧記

內交=直角+半角

外交=直角-半角

雜交=半角

拓展

以上三種圖是最常見的,事實上只要是角平分線所在直線的夾角都符合結論。