跟孩子們聊數學，經常是一道題就夠了
前些天，我的朋友發來一個鏈接給我看，標題叫《2021，一個平平無奇的數字》，裏面對2021這個數字做了非常多的分析。
大家當然知道2021是今年的年份數字，在剛剛跨入2021年的這幾天，這個數字是新鮮燙手的，孩子們也是會感興趣的。
不信？你只要寫寫666、520、1314等數字，看看你家小朋友是不是有特別的反應。當然，沒反應的也有，要麼是年幼無知，要麼是善於隱藏。
專注説説跟孩子怎麼聊2021這個數字吧，只要是三年級以上的，就可以試試了。
一
你可以這樣問
以五年級下冊（人教版在五年級下冊學習“質數”的知識）為界，在這之前的孩子，可以問：
如果2021等於兩個整數的積，那麼這兩個整數除了1和2021，還可能各是多少？也就是請填寫“2021＝（ ）×（ ），括號中為1之外的整數）。
如果學習了質數，就直接問：2021是質數嗎？如果是合數，可以怎樣分解？（這兩個問題本質是一個意思）
你要小心觀察孩子的反應，如果他顯示出畏難的樣子，就給他降些難度，可以告訴他：
2021可以分解為兩個兩位數的積，你能算出這兩個兩位數嗎？
不要覺得對2021這樣的數分析很無聊，有一位數學競賽的金牌教練説過：
每年，我們都要把今年的年份數字做各種各樣的分析，徹底瞭解它，以防出現在賽題中。
倒也是，用年份數出題是套路，而對年份數做及時分析是“套路之套路”，堪稱“套路的平方”。
二
孩子們的解法
在我最近幾天遇到學生的測試中，有以下幾種解法：
1
依次嘗試除質數型
我看一位同學，從2021÷7開始列豎式，依次試驗除以11、13、17、19、21、23、29、31、37、41，終於到除以43時，發現能整除，於是有結論：2021＝43×47。
盧老師的點評：
此方法雖“笨”，但一般來説，在孩子羣體中，這種孩子是前幾個得出答案的。
況且，只要觀察孩子們除以哪些數，就可以檢驗他們是否熟悉質數表，是否熟悉一些數的整除特徵，例如不應去嘗試除以3，再如既然不能被3整除，自然也不應嘗試除以9。
這個試除的過程非常值得觀察。有一位三年級的同學洪HY也同樣找到了這個分解，但他由於對質數與整除性性知識並不熟悉，還沒學過，於是他所試過的除數就包括了4、6、7、8、11、13、34等“亂七八糟”的數，但是在試過33之後，他除以43，也就得到了47。
辛LC同學説：
我覺得它不是質數。由2021，我想到了2020。
2020可以被4整除，但2021卻比2020多了一個1，那麼就不能被2020的除數整除，每次除完後都會有餘數。所以它不是。
並且45的平方是2025，所以從40幾開始試算就行了。
盧老師的點評：
嘗試從2021的“鄰居”2020來分析，蠻有道理的。末句指出從40幾開始試除，想到這一點的孩子能夠很快地得出答案。
2
從奇偶性入手分析型
王HX同學説：
∵偶數×奇數＝偶數，偶數×偶數＝偶數；而2021是奇數，
∴2021＝兩個奇數的積。然後一個個試奇數。
盧老師的點評：
思路很清晰，也在一定程度上縮小了嘗試的範圍。
3
從個位數入手分析型
鄭BY同學説：
從2021的個位是1，猜想兩個乘數應當個位上是3、7。試算13×17＝221，23×27＝621，33×37＝1221，於是我就得到了43×47＝2021。
盧老師的點評：
相乘得個位1的數並不多，所以真是好辦法，不過也要考慮到個位上9×9＝81，1×1＝1，乘積的個位也都是1哦。
4
兩端逼近分析型
盛WY同學的解法是：
先試算14×14＝196，99×99＝9801，50×50＝2500。
後來我根據3×7＝21，想試算13×17，但沒算，因為明顯積很小。
又試算33×77＝2541。時間到了，我就沒完成。
林BH同學的解法兼具3、4兩種：
從3×7＝21，並由30×30＝900，50×50＝2500，40×40＝1600，於是我試算43×47，就得到了2021。
三
成人的解法
我請幾位大人做，有的是老師，其中之一寫了算式給我：
2021＝2000＋21
＝40×50＋3×7
＝40×（43＋7）＋3×7
＝40×43＋40×7＋3×7
＝40×43＋43×7
＝43×47
盧老師的點評：
咦，蠻妙的。這樣運用乘法分配律分解呀合併呀，也被她解出來了。
還有一位老師的解析過程如下：
當我看到這道題，我先觀察到題目中是“兩個位數相同數的乘積”，所以一定是兩個兩位數相乘。
根據2021個位上是1，可以猜測兩位數的個位上有可能是：1&1，3&7，9&9。
因為2021不能被3整除，所以兩位數也不是3的倍數。
因為3×7=21，當個位數是3&7時，23×87
可以看出，這道題還真是個推理分析的好材料。
嗯，説了半天，盧老師的解法是怎樣的呢？
我的解法會比較特別一些，我從2021很接近的2025出發……
聯想到：2025＝45²，所以有2021＝2025－4＝45²－2²＝（45－2）（45＋2）＝43×47
當然，這種解法是建立在你對“45×45”這種所謂“頭同尾合十”的傳統速算題的速算技巧很熟悉的前提（頭乘頭加1，尾乘尾）下的，或是你本來就很熟悉一些特別數的平方，包括45的平方。
幫大家分析了這些可能的答案與背後的數學道理，接下來就期待您的行動了。把孩子招呼過來，笑咪咪地問問他吧。