數學的奇思妙想2：正多面體知多少？強基的天才們基本不知道

線性代數（高等代數）教學日記2021.3.25：對偶空間續

對偶空間即使對我這個端數學飯碗的來説，也是妙到極致的體驗，想到柏拉圖學派兩千多年前就利用這個思想和方法確定了所有正多面體，讓人感慨萬千。

我一直都不知道有多少種正多面體，中學時一直堅定地認為有無窮多種，和正多邊形一樣，然後上大學了，就被打了臉。中學好像也不教這些東西，因為高考不考，我們強基計劃班的天才們絕大部分也不知道，可見高考數學大綱大有問題。

平常説的正多面體被稱為柏拉圖正多面體，是指凸正多面體，有且僅有五種:4,6,8,12,20。這讓我一直耿耿於懷：太少了，空間這麼大，規則的石頭怎麼就這麼少？

歐幾里得在幾何原本中有簡潔漂亮的證明，只用到一個比較容易接受的事實：即空間角的面角之和必定小於2π（等於的話就變成平面了），因此正多面體的面只可能是正三邊形（三種），正方形（一種）和正五邊形（一種）。網上有些證明用到歐拉示性數公式，雖然高大上，但晚了兩千年呢！

柏拉圖正多面體和對偶空間有什麼關係？

兩個正多面體稱為是對偶的如果一個是由另一個的面心作頂點得到的。比如正方體有6個面，以這6個面的中心為頂點作出的多面體恰好是正八面體。因此，正六面體與正八面體互為對偶；類似地，正十二面體與正二十面體互為對偶。問題來了，既然正多面體都是兩兩對偶，哪正多面體的總數應該是偶數啊？

呵呵，正四面體和自己對偶！這稱為自對偶。

不看不知道，數學真奇妙！

好了，得請大家運動一下腦子了：高維有沒有正多面體這種東東啊？如果有，變多了還是變少了？評論區裏等你的回答哦！