大家好！今天和大家分享一道初中數學競賽題：如圖，求正方形的面積。這道題的難度還是比較大的，據説難住了眾多學霸。這是一道幾何題，幾何題的難點或者説關鍵點就是輔助線的做法，正確作出輔助線後，其實難度也就不大了。
這道題的輔助線實際上考查的是旋轉法做輔助線。旋轉法做輔助線一般需要出現邊長相等的情況，最常見的就是出現在等邊三角形和正方形中。
本題中，可以作∠BAE=∠BCO，∠ABE=∠OBC，容易得到三角形ABE全等於三角形CBO，就相當於將三角形CBO旋轉到了三角形ABE的位置。
作出三角形ABO後，再連接OE，並過點B作AO的垂線，交AO的延長線於點F，如下圖。
作出輔助線後，易得BE=OB=2。
因為∠ABO+∠OBC=90°，所以∠OBE=∠ABO+∠ABE=∠ABO+∠OBC=90°，所以三角形OBE為等腰直角三角形，所以∠BOE=45°，OE=2√2。
在三角形AOE中，AE²=25，OA²=17，OE²=8，即AE²=OA²+OE²，所以三角形AOE為直角三角形。
在直角三角形BOF中，∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-45°=45°，所以OF=BF=√2。
在直角三角形ABF中，AB²=BF²+AF²，即可求出正方形的面積。具體過程見解法1。
本題的最大難度就是輔助線的作法。從上面的解題過程可以看出，作了多達5條的輔助線。那麼有沒有更加簡單的方法呢？確實是有的，不過需要用到高中的餘弦定理。如下圖，如果用到餘弦定理，那麼只需要做三條輔助線即可求出正方形的面積。
按照解法1的過程，得到∠AOE=90°，∠BOE=45°，那麼∠AOB=135°。在三角形AOB中，，由余弦定理可以得到：AB²=AO²+OB²-2AO·OBcos∠AOB，這樣也可以得到正方形的面積。詳細過程見解法2。
解法2稍微簡單一點，但是用到了餘弦定理。不過如果真的對餘弦定理比較熟悉，那麼本題不需要做輔助線同樣可以求解。
在三角形AOB中，由余弦定理可以求出角ABO的餘弦值，同樣在三角形BOC中也可以求出角OBC的餘弦值。因為∠ABO+∠OBC=90°，所以cos∠OBC=sin∠ABO，再用同角三角函數的平方關係即可列出一個方程，從而求出AB的平方。詳細過程見解法3。
這雖然是一道初中數學競賽題，但是對於高中生來説也是一道非常不錯的題目。它將高中數學的特點展現得淋漓盡致，那就是幾何問題代數化。比如解法1用幾何方法求解，雖然計算量不大，但是需要多條輔助線，這也是不少同學比較害怕的一點。而解法3用高中知識求解，計算量雖然偏大，但是不需要做輔助線，做起來反而簡單。