古人曾夢想通過純粹的思考掌握現實的本質，我覺得這完全正確。—阿爾伯特·愛因斯坦，《論理論物理學的方法》，1933
“愛因斯坦是個徹頭徹尾的瘋子。”年輕、高傲的羅伯特·奧本海默於 1935 年年初造訪當時身處普林斯頓的愛因斯坦後，對這位全世界最著名的科學家做出了此番描述。1 當時，愛因斯坦已經為建立一個雄心勃勃的新理論努力了 10 年，而這在奧本海默等人看來，只能説明這位普林斯頓的聖人已經誤入歧途。愛因斯坦幾乎無視了量子理論在最小尺度上解釋物質性質的物理學新進展，而是專心致志地尋找一種宏大的新理論。這個理論的目的並不是解釋令人困惑的實驗發現，它其實是一種智力上的探索—愛因斯坦試圖僅通過數學計算，憑自己的想象就開發出一種理論。雖然這種方法在他的同行中並不流行，但在他開了先河之後，他的一些知名後輩如今已成功將之應用在前沿研究中。
奧本海默和當時的許多其他物理學家都覺得愛因斯坦的數學方法註定會失敗。這也難怪：畢竟，他的方法似乎違背了過去 250 年來科學研究始終遵循的一條原則—做自然研究應該避免柏拉圖等思想家曾堅信的純思維的方式。當時，大多數人的看法是：物理學家應該通過在現實世界中所做的觀測和實驗得到的結果，驗證他們關於宇宙的理論。這樣一來，理論學家就可以避免自欺欺人地誇大自己對自然的認識。
愛因斯坦當然知道自己在幹什麼。從 20 世紀 20 年代初開始，他就經常提到：經驗告訴他，為達到他的主要目標（也就是發現大自然的基礎定律），數學策略是最有希望取得進展的方法。他在 1925 年對年輕的 學生埃絲特·薩拉曼（Esther Salaman）説：「我想知道上帝是怎麼創造這個世界的。單純的某個現象或某個元素（的性質）都不能提起我的興 趣。我感興趣的是上帝的總體構思，其餘的都只是細節。」在他看來， “物理學家的最終任務”就是理解潛藏在整個宇宙運作機制之下的內在秩序—從原子內部微粒的急速振動到外太空星系的劇烈活動。
愛因斯坦認為，在如此多樣、複雜的宇宙之下潛藏着一種相對簡單的秩序，這個事實本身就是“一個奇蹟，或者一個永恆的謎團”。數學為表達這種潛藏的秩序提供了一個十分精確的方式。物理學家和他們的前輩已經掌握了從數學語言出發發現普適定律的能力。這些定律不僅適用於地球上的事物，也適用於宇宙各處的所有事物，從時間的開始一直到最遙遠的未來。在這個領域耕耘的理論學家，包括愛因斯坦在內，可能會被認為過分自大（這也在情理之中），但一定不會被認為缺少雄心壯志。
藉助數學的潛力發現大自然的新定律成了愛因斯坦的執念。1933 年春天，愛因斯坦在牛津大學向公眾做特別演講時首次公開提出了把數學方法應用到物理研究中去的想法。他的聲音不大，卻充滿自信，他敦促理論學家們不要再通過解釋新的實驗發現的途徑來發現基本定律（傳統方法），而要多從數學中汲取靈感。這個方法實在太偏激了，很可能嚇到了聽眾中的物理學家，但如我們所想，當時沒人敢站起來公開反對他。愛因斯坦還告訴聽眾，他已經把剛才説的方法付諸實踐了：他正運用數學方法把引力理論和電磁理論結合起來。愛因斯坦相信，他可以通過預測新理論的數學結構來實現這個目標—這兩個理論涉及的數學內容可以把它們統一起來。
愛因斯坦很清楚，這種通過數學方法解決問題的策略在很多科學學科中是行不通的，因為那些學科的理論框架通常不是通過數學搭建的。例如，查爾斯·達爾文在用自然選擇闡述他的進化論時，根本就沒用到數學。同樣，當阿爾弗雷德·魏格納首次描述板塊漂移理論時也只是用語言表述的。這類理論的一大潛在缺陷是：語言並不太牢靠—它們的含義模糊不清且容易被誤解，而數學概念定義清晰、含義準確，適合用來做邏輯推演和創造性演繹。愛因斯坦認為，數學具有的這些性質是理論物理學家的福音，他們應該充分加以利用。
然而，當時他的同僚中鮮有人認可這個觀點，哪怕是愛因斯坦最狂熱的崇拜者也對此嗤之以鼻。他的毒舌朋友沃爾夫岡·泡利甚至指責他拋棄了物理學：“我應該恭喜你（或者應該表達哀悼？）成功轉向了純數學領域……為了能讓你（現在的）這個理論準時步入墳墓，我就不再刺激你，並讓你浪費時間來反駁了。”對於這類評論，愛因斯坦一概置之不理，他只是沿着自己的小徑孤獨前行，他也沒能拿出什麼成果來證明這番努力有所收穫：他成了現代物理學的堂吉訶德。愛因斯坦於 1955 年逝世後，頂尖物理學家們達成了一個共識：愛因斯坦的這個方法徹底失敗了，這表明大家對他的批評並沒有錯。然而，後來理論物理學的發展證明，這個結論下得太早了。
雖然愛因斯坦不應該忽略亞原子層面物質理論的進展，但在某一方面，他還是要比許多批評者更有遠見的。20 世紀 70 年代中期，也就是愛因斯坦逝世 20 年後，幾位傑出的物理學家追隨着他的腳步，試圖運用純思想—以數學為基礎—構建紮實但不免有瑕疵的理論。當時， 我還是一名剛入行的研究生，對這種純粹在腦海中展開研究的策略相當警惕，並且相當確信這條路走不通，最終必將一無所獲。對我來説，理論物理學家顯然應該讓實驗發現指引他們前行的道路。這是正統的方法，並且的確在理論物理學家發展亞原子層面的現代理論時立下了汗馬功勞。這套理論後來成為粒子物理學的標準模型，那簡直就是一個奇蹟：標準模型以寥寥數條簡單的原理為基礎，很快就取代了此前所有想要描述亞原子粒子行為的嘗試。這個模型漂亮地解釋了每個原子的內在運作機制。當時我還沒完全意識到自己有多幸運：我就端坐在大教室的後排，觀看這部史詩般的當代物理學戲劇上演。
我記得自己在那些年裏參加過幾十場以新奇理論為主要內容的研討會。那些理論看上去的確令人印象深刻，但只是大致與實驗結果相符。然而，這些理論的擁護者顯然頗為自信，覺得他們發現了某種重要的東西。這種自信部分來自這些理論運用了有意思的新數學工具。對我來説，這種做物理研究的方式看上去比較奇怪。我覺得更好（而且是好得多）的方式是去傾聽大自然告訴了我們什麼，一大理由是大自然從不説謊。
我感覺到一股新風已吹來，但據我所知，風向朝着我不怎麼喜歡的數學方向。從個人角度説，我希望這股新風逐漸止歇，但我又錯了。20 世紀 80 年代初，隨着關於亞原子粒子之間作用力的實驗所帶來的新信息逐漸減少，這股新風越吹越盛。出於上述原因，更多的理論物理學家轉向了以數學為輔助工具的純推理式研究。這給基礎物理學帶來了一個新方法—弦論。這個理論假設宇宙的基本要素並非粒子，而是極小的弦，企圖以此在最精細的層面上對大自然進行統一的描述。理論物理學家在這個理論上取得了一些進展，但儘管他們付出了巨大的努力，仍沒能給出實驗物理學家能夠檢驗的預測。於是，像我這樣的懷疑論者就開始認為，事實會證明這個理論無非就是一個用數學工具寫就的科幻小説。
然而，令我震驚的是，許多頂尖理論物理學家並沒有因為這一理論顯然缺乏直接的實驗證據而就此止步。他們反覆強調這個理論的潛力， 以及它與數學關聯的深度與廣度，有很多關聯甚至對世界頂尖數學家都具有啓示意義。這種深入、廣泛的學科交叉進一步推動了理論物理學家和數學家之間的合作，並且產生了一系列令人興奮的結果，尤其是對數學家來説。不僅物理學離不開數學，數學也離不開物理學，此刻這個道理比以往任何時候都更加清楚。
數學和物理學的交織似乎證明了物理學家保羅·狄拉克在 20 世紀 30 年代表達的觀點。狄拉克有時被稱為“理論學家的理論學家”。狄拉克認為，基礎物理學是通過越來越能體現數學之美的理論取得進展的。這個趨勢讓他確信—“從信念的立場上説，而非邏輯”—物理學家 應該始終致力於尋找體現數學之美的例子。不難看出這對於弦論學家來説有着特殊的吸引力：他們的理論到處都藴含着數學之美，因此，根據狄拉克的思路，這個理論當然是前途光明的。
弦論的盛行給現代基礎物理學添上了濃厚的數學色彩。邁克爾·阿 蒂亞（Michael Atiyah）這位在職業生涯後期把研究重心轉向理論物理學的傑出數學家，後來煽動性地寫道：“數學接管了物理學。”不過，一些物理學家看到許多才華橫溢的同事研究深奧的數學理論，而其中有許多無法驗證，對此頗感沮喪。2014 年，美國實驗物理學家伯頓·里克特（Burton Richter）直言不諱地總結了他對這種趨勢的擔憂：“現在看來，物理學理論的基礎很快將不再是現實世界中的真實實驗了，而是理論學家腦海中的想象實驗。”這種趨勢的後果可能是災難性的，里克特憂心忡忡地表示：“到那時，理論學家們的靈感只能來自數學，而不是新的觀測結果。在我看來，那就是我們現在所理解的基礎物理學研究的墳墓。”
對現代理論物理學現狀的失望甚至成了一個公眾熱議的話題。在過去的大約 10 年裏，數位頗有影響力的評論者把矛頭指向了弦論，稱其為“神話物理學”“連錯都算不上”，並指責這一代理論物理學家“迷失在數學中”。現在，我們常常能在媒體上，尤其是博客圈裏聽到一些批評意見，抱怨説現代物理學應該回到真實科學那條筆直且狹窄的道路上。
這種觀點是錯誤的，並且體現了不必要的悲觀情緒。我在本書中想要表達的是，如今的理論物理學家其實正走在一條完全合理且極有前景的康莊大道上。他們使用的方法在邏輯性和創造性上汲取了自艾薩克·牛頓以來數個世紀的物理學成果。牛頓建立了描述運動和引力的數學定律，就構建第一個以數學為基礎且可通過實驗驗證的描述真實世界的框架來説，他的貢獻比任何人都要大。牛頓清楚地闡明，物理學的長遠目標是通過越來越少的概念掌握越來越多的宇宙知識。如今的頂尖物理學家正堅定地站在 20 世紀的兩塊基石上，朝着這個目標不懈努力。這兩塊基石正是愛因斯坦的基礎相對論和量子力學。前者是對牛頓時空觀的修正，後者則描述了最小尺度上物質的行為。沒有任何實驗能夠證偽這兩個理論中的任何一個，因此，它們構成了物理學研究的完美基石。
愛因斯坦經常説，量子力學和基礎相對論很難融合到一起，但物理學家最終還是把它們結合成了一個理論。這個理論做出了非常成功的預測，在某個實例中與相應實驗測量結果小數點後的 11 位相符。大自然似乎在清楚且大聲地告訴我們，這兩個理論都應得到尊重。今天的物理學家正是在這一成就的基礎上展開工作的，他們堅持認為任何以普適性為目標的新理論都必須與基礎相對論和量子力學相匹配。這種堅持造成了出人意料的結果：不僅催生了物理學的新進展（其中包括弦論），而且促使物理學與前沿數學之間產生了諸多聯繫。物理學與數學互相交織的畫面從沒有像現在這樣清晰：基礎物理學中的新概念啓迪了數學中的新概念，反過來也是一樣。正是出於這個原因，許多頂尖物理學家相信，他們不僅能夠從實驗中學到東西，還能從相對論和量子力學交匯時產生的數學結構中得到啓發。
上文節選自中信出版·鸚鵡螺《物理世界的數學奇蹟》,[遇見]已獲授權.