這就是一道博弈論的題目。
如果按照題目的描述，我們可能會畫出這樣一棵博弈樹(也被稱為博弈的拓展形式 extended form)
從上往下，首先由甲選擇藏起來的硬幣是 10 還是 20，再由乙猜測硬幣，最後的收益，前一個是甲的收益，後一個是乙的收益。
但是這棵樹是有問題的：乙在決策的時候，其實不知道甲到底藏的是 10 還是 20，所以其實正確的博弈樹是這樣的：
連上虛線的兩個點，表示在同一資訊集中(掌握了同樣多的資訊)，這時候，我們可以把它等價地畫成支付矩陣(也被稱為博弈的標準形式或戰略形式 strategic form)
拓展形式的博弈樹，通常用於表示博弈策略選擇有前後順序的情況(我們稱為 sequential game)，而戰略形式的支付矩陣，則表示博弈策略選擇是同時進行的情況(我們稱為 simultaneous game)。在這個問題中，由於乙猜測時不知道甲藏的硬幣是多少，可以認為乙是在甲藏硬幣的同時進行猜測，因而可以寫成戰略形式的支付矩陣。
接下來我們來求解這個博弈的解，這裡就是它的納什均衡。
納什均衡的定義是，在均衡下，參與者不會單方面地改變自己的選擇。
首先考察純策略納什均衡(雙方都只用一種策略)，由於格子少， 所以我們可以逐格按照定義進行檢查，當然也可以用經典的劃線法：給定甲的策略，選出乙的最佳選擇，再給定乙的策略，選出甲的最佳選擇，如下圖：
我們可以說，這時候不存在純策略納什均衡，任何一種結果下，都會有一方覺得自己本應有更好的選擇。
我們轉而尋求混合策略納什均衡，就是雙方混合採取多種策略。
混合策略納什均衡的求解辦法，如題主所做的那種是可以的，但這比較複雜，我們通常採用的是利用對手無差異性。
對手無差異性的含義是，如果甲要混合選擇 10 和 20，那乙無論選擇 10 還是選擇 20，得到的收益應該是一樣的。否則，如果甲選擇混合策略之後，乙發現自己選擇 10 的收益更高，那麼甲應當預見到這一點，並轉而選擇 20，這說明甲有更好的策略;反之乙如果發現選擇 20 的收益更高也是同理。
這樣一來，我們假定甲以 p 的機率選擇 10，1-p 的機率選擇 20，那麼由對手無差異性
10p-15(1-p)=-15p+20(1-p)
25p-15=20-35p
解得 p=35/60=7/12
同理可得乙以 q=7/12 的機率選擇 10，5/12 的機率選擇 20。計算結果和題主是一樣的~
以上解答了題主提到的 Vladimir Arnold 提出的問題。
接下來解答題主的問題。
1. 此解法有一個假設，即『在遊戲開始後策略不改變』。在該假設下，此解法是否正確?
答：並不需要這個假設，因為原題說的是甲乙雙方進行一次遊戲的情況，儘管這其中涉及機率，但不代表這個遊戲要進行很多次來統計頻率，而是參與人每一輪都根據機率進行選擇。
題主想說的，其實是遊戲進行多輪的狀況，這種狀況被稱為重複博弈(repeated game)。
重複博弈下，策略就更像是一種戰略，而不是戰術，它代表了玩家在每一輪如何選擇的一整套規則，這個規則可以是“根據上一回合的結果決定下一回合的選擇”，也可以是“在遊戲開始後策略不改變”。
我用最經典的囚徒困境博弈來做個說明。
囚徒困境進行一輪的時候，囚犯的策略是合作(C)或者背叛(D);
囚徒困境重複進行時，囚徒的策略可以是永遠合作 ALLC，永遠背叛 ALLD，以牙還牙 Tit For Tat，冷酷策略 Grim Trigger 等等，這些策略是單輪博弈的策略(合作或者背叛)的有機組合。這裡“永遠合作”或者“永遠背叛”就是“在遊戲開始後策略不改變”的策略的例子，而“以牙還牙”和“冷酷策略”都是“根據上一回合的結果決定下一回合的選擇”的例子。
2. 是否有一種『根據上一回合的結果決定下一回合的選擇』的策略，使得甲或者乙收益更多?如果有，是什麼?如果沒有，如何證明?
答：這時候我們就要進一步劃分重複博弈。
1)如果重複博弈進行有限輪，在最後一輪，雙方一定會選擇納什均衡。
如果有多個納什均衡，而且各個納什均衡的收益不同，那麼可以透過威脅對方說，我會在最後一輪強制選擇較差的納什均衡，來逼迫對方在最後一輪之前選擇非納什均衡。
然而，這道題中只有一個納什均衡(就是混合策略納什均衡)，因此最後一輪雙方無論如何都只有這一種選擇，倒推到倒數第二輪，則雙方都無法威脅對方，那麼倒數第二輪也只能都選擇納什均衡，依此類推，我們就得到了一個定理：
定理：若單輪博弈只有唯一納什均衡，則有限重複博弈中每一輪博弈雙方均選擇該納什均衡。
這個定理用在囚徒困境上，就可以知道有限次囚徒困境中，雙方都永遠會選擇背叛。
2)如果重複博弈進行無限輪，這時候就沒有“最後一輪”了，我們就不能從最後一輪來進行倒推了。這時候，我們就只好利用另一個定理(證明略)，即無名氏定理(Folk Theorem)。
在介紹定理之前，先來了解一下折現率(discount rate)的概念。簡單地說，就是沒到手的錢沒有已經到手的錢值錢，在今天看未來的收益，要打個折扣。這個也很好理解，比如我今天給你 100 塊和明年的今天給你 100 塊，肯定是今天拿到手合算，因為我可以拿去投資啊，最起碼可以多拿一年的利息，所以明年的 100 塊錢，在今天就要少一些，我們用折現率δ
如果我們進行無限輪博弈，最後我們會得到一個總折現收益，這個總折現收益等價於每年固定拿一定量的錢的總折現收益，我們稱為平均折現收益。比如說，如果我今年拿 2 塊，從明年開始每年拿 1 塊，折現率是 1/2，那麼我的總折現收益是
2+1/2+(1/2)2+...=3
平均折現收益假設是 x，那麼有
x+x*(1/2)+x*(1/2)2+...=3
解得 x=3/2
也就是說，“我今年拿 2 塊，從明年開始每年拿 1 塊，折現率是 1/2”，就相當於我每年拿 3/2 塊，折現率是 1/2。
好了，我們回到無名氏定理。無名氏定理說的是，對於雙方高於其最小最大值(minimax)的收益，在折現率充分高的情況下，存在策略，使得雙方的平均折現收益達到該值。
在零和博弈中(比如本題)，最小最大值的收益就是納什均衡下的收益。而零和遊戲意味著提升一方的收益必然降低另一方收益，所以無法用無名氏定理證明存在這樣的策略。(= =!一個大寫的懵逼)
(然而證明不存在的定理我們沒學過……)
3. 此題讓我聯想到 Evolutionarily Stable Strategy(雖然只有兩個人)，現實中(如生物、經濟等領域)是否有符合此題模型的現象?
我還是想說這個問題本身只是一輪，不是多輪……所以本身並沒有 Evolutionary 的成分……不過如果放在演化博弈的視角下，這確實是一個 ESS。