高考前回顧和總結，吃透函式的奇偶性，為高分做好準備
函式的奇偶性作為函式性質的重要構成，已成為高考數學當中的一個熱點。在高考複習中為更好把握這一部分內容，我們應從概念的理解、性質結論的運用、方法技巧的總結、邏輯思維等方面入手，做到有針對性和有效性的複習。
高考數學中對函式奇偶性的考查，主要涉及函式奇偶性的判斷，利用函式的奇偶性求函式值、引數值等問題。
今天我們透過對最幾近全國各省的高考數學試題進行分析，總結此類題型的解法和思路，鞏固函式奇偶性的重要性及其基礎性，希望能幫助到大家的高考複習。
奇偶性作為函式的一個基本性質，在高考試題中，常與函式的單調性、對稱性、週期性、零點及分段函式、解不等式等結合，涉及函式與方程思想、整體思想、分類討論思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，以較強的邏輯考查學生的數學能力。
奇、偶函式的有關性質：
1、定義域關於原點對稱，這是函式具有奇偶性的必要不充分條件；
2、奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱；反之亦然；
3、若奇函式f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；
4、利用奇函式的圖象關於原點對稱可知，奇函式在原點兩側的對稱區間上的單調性相同；利用偶函式的圖象關於y軸對稱可知，偶函式在原點兩側的對稱區間上的單調性相反。
函式奇偶性有關的高考試題分析，講解1：
已知f(x)是偶函式，且f(x)在[0，＋∞)上是增函式，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈[1/2,1]上恆成立，求實數a的取值範圍．
解：由於f(x)為偶函式，且在[0，＋∞)上為增函式，
則在(－∞，0]上為減函式，由f(ax＋1)≤f(x－2)，
則|ax＋1|≤|x－2|，又x∈[1/2,1]，
故|x－2|＝2－x，
即x－2≤ax＋1≤2－x.
故x－3≤ax≤1－x,1－3/x≤a≤1/x－1，在[1/2,1]上恆成立．
由於（1/x-1）min＝0，（1-3/x）max＝－2，故－2≤a≤0.
函式奇偶性有關的高考試題分析，講解2：
關於y＝f(x)，給出下列五個命題：
①若f(－1＋x)＝f(1＋x)，則y＝f(x)是週期函式；
②若f(1－x)＝－f(1＋x)，則y＝f(x)為奇函式；
③若函式y＝f(x－1)的圖象關於x＝1對稱，則y＝f(x)為偶函式；
④函式y＝f(1＋x)與函式y＝f(1－x)的圖象關於直線x＝1對稱；
⑤若f(1－x)＝f(1＋x)，則y＝f(x)的圖象關於點(1,0)對稱．
填寫所有正確命題的序號________．
解析：由f(－1＋x)＝f(1＋x)可知，函數週期為2，①正確；
由f(1－x)＝－f(1＋x)可知，y＝f(x)的對稱中心為(1,0)，②錯；
y＝f(x－1)向左平移1個單位得y＝f(x)，故y＝f(x)關於y軸對稱，③正確；
兩個函式對稱時，令1＋x＝1－x得x＝0，故應關於y軸對稱，④錯；
由f(1－x)＝f(1＋x)得y＝f(x)關於x＝1對稱，⑤錯，
故正確的應是①③.
答案：①③
函式奇偶性有關的高考試題分析，講解3：
已知函式f(x)是定義在R上的奇函式，且它的圖象關於直線x＝1對稱．
(1)求證：f(x)是週期為4的週期函式；
(2)若f(x)＝√x(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]時，函式f(x)的解析式．
解：(1)證明：由函式f(x)的圖象關於直線x＝1對稱，
得f(x＋1)＝f(1－x)，
即有f(－x)＝f(x＋2)．
又函式f(x)是定義在R上的奇函式，
故有f(－x)＝－f(x)．
故f(x＋2)＝－f(x)．
從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是週期為4的週期函式．
(2)由函式f(x)是定義在R上的奇函式，有f(0)＝0.
x∈[－1,0)時，－x∈(0,1]，
f(x)＝－f(－x)＝－√-x，又f(0)＝0，
故x∈[－1,0]時， f(x)＝－√-x.
x∈[－5，－4]，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－√（-x-4）.
從而，x∈[－5，－4]時，
函式f(x)＝－√（-x-4）.
函式奇偶性的應用：
1、已知函式的奇偶性求函式的解析式。
利用奇偶性構造關於f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式。
2、已知帶有字母引數的函式的表示式及奇偶性求引數。
常常採用待定係數法：利用f(x)±f(－x)＝0產生關於字母的恆等式，由係數的對等性可得知字母的值。
3、奇偶性與單調性綜合時要注意奇函式在關於原點對稱的區間上的單調性相同，偶函式在關於原點對稱的區間上的單調性相反。