大家好，今天是2020年8月10日星期一，數學世界將繼續為大家分享2020年各地的數學中考真題，今天我們來看一道2020年武漢數學中考題，希望能夠對大家的學習有一些幫助！如果你是來到這裡的新朋友，請翻看以前的文章，希望能夠大家能夠喜歡。
例題：（2020·武漢中考數學題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC於點D，AE與過點D的切線互相垂直，垂足為E．
（1）求證：AD平分∠BAE；
（2）若CD=DE，求sin∠BAC的值．
分析：（1）圓的切線垂直於經過切點的半徑，若出現圓的切線，必連過切點的半徑，得出垂直關係。題中給出了圓的切線，所以連過切點的半徑，連線OD（如圖），根據切線的性質得到OD⊥DE，則結合條件可判斷OD∥AE，從而得到∠1=∠ODA，然後利用半徑可以得出∠2=∠ODA，於是得到∠1=∠2，即AD平分∠BAE。
（2）連線BD，如圖，利用圓周角定理得到∠ADB=90°，再證明∠2=∠3，利用三角函式的定義得到sin∠1=DE/AD，sin∠3=DC/BC，利用等量代換則得出AD=BC。再透過數形結合，設CD=x，BC=AD=y，可以證明△CDB∽△CBA，利用相似比得到比例式x：y=y：（x+y），然後求出x、y的關係即可得到sin∠BAC的值。下面，我們按照以上思路解答此題吧！
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AE，
∴OD∥AE，
∴∠1=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ODA，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAE；
（2）解：連線BD，（如圖）
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠2+∠ABD=90°，∠3+∠ABD=90°，
∴∠2=∠3，
∵sin∠1=DE/AD，sin∠3=DC/BC，
且DE=DC，∠1=∠2=∠3，
∴AD=BC，
設CD=x，BC=AD=y，
∵∠DCB=∠BCA，∠3=∠2，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB=CB：CA，即x：y=y：（x+y），
整理得x^2+xy-y^2=0，
解得x=（-1+√5）y/2
或x=（-1-√5）y/2（捨去），
∴sin∠BAC=sin∠3
=DC/BC=（√5-1）/2，
即sin∠BAC的值為（√5-1）/2.
（完畢）
