此題要證圓的切線並求長度，由相似三角形得出線段比例式是關鍵
各位關注數學世界的朋友，大家好！今天，數學世界分享一道與圓有關的解答題，涉及切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理等知識。筆者希望透過對習題的解析，能夠為廣大初中生學習相關的數學知識提供一些幫助！下面，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，在△ABC中，AC=BC，以BC為直徑作⊙O，交AC於點M，作CD⊥AC交AB延長線於點D，E為CD上一點，且BE=DE．
（1）證明：BE為⊙O的切線；
（2）若AM=8，AB=8√5，求BE的長．
直角三角形的性質：在直角三角形中,兩個銳角互餘。
平行線的性質：1.兩直線平行,同位角相等。2.兩直線平行,內錯角相等。3.兩直線平行,同旁內角互補。
分析與解答：（請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。以下過程可以部分調整，並且可能還有其他不同的解題方法）下面就簡單分析一下此題的思路：
（1）根據垂直的定義得到∠ACD=90°，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，再根據直角三角形的性質，即可推出CB⊥BE，於是得到結論；
（2）連線BM，由圓周角定理得到BM⊥AC，根據勾股定理可以求得BM和BC的長，再根據相似三角形得到線段比例式，即可求得BE的長．
（1）證明：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A+∠D=90°，（直角三角形的性質）
∵AC=BC，BE=DE，
∴∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，（等腰三角形的性質）
∴∠ABC+∠DBE=90°，（等量代換）
∴∠CBE=180°-∠ABC-∠DBE=90°，
∴CB⊥BE，
∴BE為⊙O的切線；
∵BC為⊙O的直徑，
∴BM⊥AC，（圓周角定理）
∵在直角三角形ABM中，
AM=8，AB=8√5，
∴BM=16，
∵AC=BC，
∴CM=BC-AM=BC-8，
∵在直角三角形BCM中，BC^2=BM^2+CM^2，
∴BC^2=16^2+（BC-8）^2，
∴BC=20，
∴CM=12，
∵BM⊥AC，AC⊥CD，（平行線的判定）
∴BM∥CD，
∴∠MBC=∠BCE，（平行線的性質）
∵∠BMC=∠CBE=90°，
∴△BMC∽△CBE，
（相似三角形的判定和性質）
∴CM/BE＝BM/BC，
∴12/BE=16/20，
∴BE=15．
（完畢）
這道題是關於圓的綜合題，有一定難度，考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確找出相似三角形。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。