大家好！今天和大家分享一道有意思的初中數學競賽題：求自然數n，使得2^8+2^11+2^n是完全平方數。這道題目的難度還是不小，能夠做出來的人數學思維都還不錯。下面我們一起來看一下這道題。
說起完全平方數，不少人首先想到的就是配方，將給出的式子配成一個完全平方的形式。所以將2^8看成(2^4)²，2^11看成2×2^4×2^6，2^n看成(2^(n/2))²，這樣就可以配出一個完全平方的形式(2^4+2^6)²，從而得到n=12。
直接配方可以得到一個答案，但是是否是唯一答案呢？其實並不一定。比如有網友計算出當n=3時，題目給出的資料也可以配成一個完全平方形式。如下圖：
當然，n=3肯定不是這題的答案，為什麼呢？
因為完全平方數是指一個數能表示成某個整數的平方的形式，而n=3時，底數並不是一個整數。
雖然n=3不是正確答案，但是至少說明直接配成完全平方的方法並不嚴謹，那麼究竟該怎麼做呢？下面和大家分享一個比較繁瑣但更嚴謹的解法。
我們可以先設題幹資料為t²，則t為整數(完全平方數的概念)。然後透過移項表示出2^n，再進行因式分解，得到2^n=(t+48)(t-48)。
因為(t+48)(t-48)=2^n，所以t+48、t-48可以寫成以2為底的指數的形式，那麼可以設t+48=2^a，t-48=2^b，則n=a+b。
t為整數，那麼t+48、t-48同樣為整數，所以a、b同樣為整數且a＞b。兩個式子相減，可以得到2^a-2^b=96，提公因式得到2^b(2^(a-b)-1)=96。
到了這一步，如果能夠計算出a、b的值，那麼n的值也就算出來了。可是，一般來說兩個未知數需要兩個方程才能解出來，現在一個方程能解出來嗎？
先觀察一下式子的特點：2的正整數次冪肯定為為偶數，所以2^(a-b)-1的值肯定為奇數。然後將96分解因數，可以發現96的因數中除了1就只有3這一個奇數。如果這個奇數為1，那麼2^b=96，b不可能為整數，所以這個奇數只能為3。即2^(a-b)-1=3，2^b=32。這樣就可以解出a、b的值，從而得到n的值。
這道競賽題得到答案並不是太難，但是如何寫出一個嚴謹的過程卻並不容易。另外要將完全平方數和完全平方式區分開來，完全平方數的底數也必須是一個整數。你還有更好的方法嗎？