各位關注數學世界的朋友，大家好！數學世界將為大家分析和講解初中數學中與圓有關的求陰影部分面積的綜合題，筆者希望透過對習題的解析，能夠為廣大初中生學習相關的數學知識提供一些幫助！
長期關注數學世界的朋友都知道，數學世界一直都是精心挑選有代表性的數學題分享給大家，希望由此激發學生們對數學這門課程的學習興趣，並能給廣大學生學習數學這門課程提供助力！
今天，數學世界分享一道求陰影部分面積的解答題，涉及切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行線的性質等知識。下面，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，已知四邊形ABCD內接於⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD於點E，AD平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）如果AB=6，AE=3，求圖中陰影部分面積．
垂徑定理:垂直與弦的直徑平分這條弦,並且平分這條弦所對的兩段弧。
直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半。
在直角三角形中,如果一條直角邊等於斜邊的一半,那麼這條直角邊所對的角等於30度。
分析與解答：（請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。以下過程可以部分調整，並且可能還有其他不同的解題方法）下面就簡單分析一下此題的思路：（1）連線OA，作半徑證垂直，利用已知條件可以推出OA∥DE，進而證明OA⊥AE，即可得到AE是⊙O的切線；
（2）透過證明△BAD∽△AED，再利用對應邊成比例得到線段之間的等量關係式，從而求出⊙O的半徑長，再解直角三角形即可得到相關角的度數，進一步求出陰影部分的面積．
（1）證明：連線OA，（作半徑證垂直）
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．（圖上標了數字，方便書寫）
∵DA平分∠BDE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．（等量代換）
∴OA∥DE．（內錯角相等，兩直線平行）
∵AE⊥CD於點E，
∴OA⊥AE．（平行線的性質）
又∵點A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切線；
∴∠BAD=90°．
∵AE⊥CD，即∠AED=90°，
∴∠BAD=∠AED，
又∵∠2=∠3，（有兩個角對應相等）
∴△BAD∽△AED，
∴BD/AD=BA/AE，
∵BA=6，AE=3，
∴BD=2AD，（由計算推出）
∴∠ABD=30°，
（在直角三角形中,如果一條直角邊等於斜邊的一半,那麼這條直角邊所對的角等於30度）
∴BD=AB/cos∠ABD=4√3，（解直角三角形）
∴OD=2√3，
延長AO交BC於H，連線OA，
則四邊形AHCE是矩形，
∴∠AHC=90°，CH=AE=3，
∴BC=2CH=6，（垂徑定理）
∴cos∠CBD=BC/BD=6/4√3=√3/2，
∴∠CBD=30°，
∴∠COD=∠AOD=60°，
（此處也可以由直角三角形求出角度）
∴△COD和△AOD都是等邊三角形，
∴陰影部分面積=兩個相同扇形-平行四邊形
=60/360×π×(2√3)^2×2-2√3×3
=4π-6√3.
（完畢）
這道題是關於圓的綜合題，有一定難度，考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，矩形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是利用線段之間的關係求出角度。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。