銳角三角函式章節導課教學反思

銳角三角函式章節導課教學反思

作為全章的第一課，其作用是“劇透”和“導引”，還得埋下伏筆，後面才有文章可作。銳角三角函式是初中數學中的重要概念，它反映了直角三角形中銳角與兩邊的比之間的關係，即將銳角作為一個變數，兩邊比值作為另一個變數，讓學生理解它們之間的關係，而這種變數之間的關係，我們稱之為函式。

從字面解讀，直角三角形是前提條件，研究物件一是銳角，物件二是比值。

一、為什麼要在直角三角形中？

本章的匯入採用了實際情境，比薩斜塔。透過閱讀教材，對幾個專用名詞進行數學解讀，塔頂中心點、垂直中心線、偏離、塔高等。其中塔高是定值54.5m，垂直中心線是定線，它始終垂直於地面，變化的量只有一個，即偏離的距離，這個距離實際上是過塔頂中心點向垂直中心線作垂線段的長度，這樣就構造出了一個直角三角形，它的斜邊是54.5m。

然後是對傾斜程度進行描述，通常情況下，我們是用角度來描述傾斜程度的，例如傾斜角，即圖中的∠A，顯然閱讀材料中並沒有給出這個角度，因此無法描述。如何從給出的一堆“線段長度”來描述“傾斜程度”？

教材中給出的導問是“塔身中心線與垂直中心線所成的角”，這是從習慣出發，顯然一個角的兩邊是射線，沒辦法測量長度，可一旦這個角放入直角三角形中，情況頓時就不一樣了。

從給出的幾組數量中，塔身中心線、垂直中心線和偏離距離，可構造出一個直角三角形，而我們欲表示的傾斜角度，是其中一個銳角，斜邊AB已知，偏離距離為BC，它們正好是∠A的對邊與斜邊，這兩條線段又是如何描述傾斜程度的呢？

二、為什麼要用比值？

仍然是在前面所構造的直角三角形中，直角已知，∠A是我們要描述的物件，可用條件是它的對邊和斜邊，究竟是用對邊+斜邊？斜邊-對邊？對邊乘斜邊？對邊除斜邊？……

要將學生的思維引到比值上，並不容易。

我想到的是，既然直角不變，∠A已知，那麼這樣的直角三角形有無數個，並且它們彼此相似，有了相似這層聯絡，那麼，夾∠A的兩條邊一定是成比例的，於是就扯到線段的比值上了，即∠A的對邊和斜邊的比值是隨∠A而確定的。

以斜塔圖形為例，由於AB長度是固定的，那麼BC變化時，BC:AB也在變化，並且很明顯可以看出，∠A變大，這個比值也變大，建立起了角度和比值的初步關聯。

三、為什麼是函式？

銳角三角函式，前提是在直角三角形中，考查其中一個銳角，怎麼又變成函數了呢？到目前為止，我們對函式的理解仍然是兩個變數之間的關係，在前面的鋪墊中，可知其中一個變數是角度，而另一個變數則是比值，比值中的兩條線段是作為一個整體而不能分開，當我們確定了角度大小，那麼比值是相對確定的，並且和三角形大小無關，這可用相似三角形來解釋。

反過來，當比值確定了，這個角度大小也隨之確定，這就是典型的函式關係。

四、從特殊到一般

關於正弦的描述，我們是從含30°角的直角三角形中開始探索的，畢竟這個三角形是我們研究過多次的，多數學生都知道它的三邊之比為1：√3：2，也方便後面的計算求比值，緊接著是等腰直角三角形，三邊之比為1：1：√2，再加上例題中的三邊比為3：4：5和5：12：13兩種，未來常用的特殊直角三角形今天全見面了，當然希望再次遇到時，不要忘記。

例題中的兩類特殊直角三角形，我們並不知道它的兩個銳角度數，但十分肯定的是，可以求出一個度數來，這在後續學習中，我們可以用幾何畫板來實現。