一道初中數學競賽題，得到答案並不難，難的是過程

方程思想是中學數學最重要的思想之一，掌握方程思想可以幫助我們解決不少日常生活中的問題，而解方程就是對方程思想的最基本要求，也是中學數學考試的重點。本文和大家分享一道初中數學競賽題。題目是：解方程x^3+x^2=392。

看到題目後，不少網友表示這題並不難。他們的做法如下：

因為x^3+x^2=392，

所以x^2(x+1)=392；

又392=2×2×2×7×7=8×7^2=(7+1)×7^2，

所以x^2(x+1)=7^2(7+1)，從而解得x=7。也就是說原方程的解為7。

上面的做法對不對呢？答案對了，但是過程並不嚴謹。

這是一個一元三次方程，按理說應該有3個解，但是上面的解法只求出了1個解，並不沒有說明為什麼只有一個解。那麼正確的解法應該是怎樣的呢？

要解高次方程，因式分解是基本方法，所以我們首先將方程右邊變為0，再進行因式分解。

接下來進行因式分解。

x的指數出現了立方和平方，所以可以考慮立方和、立方差公式，也就是說需要將392分解成某個數的立方與平方之和的形式。

如何找到這個數呢？分解質因數，即：

392=2×2×2×7×7=8×7^2=(7+1)×7^2=7^3+7^2。

所以方程就可以變形為：

x^3-7^3+x^2-7^2=0。

下面需要用到立方差公式進行因式分解。

下來看一下立方差公式：

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。

對前面得到的方程分別用立方差和平方差公式分解因式，可以發現都出現了(x-7)這一因式，所以接下來再提公因式就可以徹底分解。

分解因式完成後，接下來只需要分類討論即可。

x-7=0時，x=7；

x^2+8x+56=0時，因為△=64-224＜0，所以此時沒有實數根。

綜合上面討論的情況，原方程的解就是x=7。

對於第二種情況，有網友有不同看法。他們認為，既然是競賽題，題目也沒有說在實數範圍內解方程，所以複數根也應該要算，否則很多競賽題就沒法做了。比如日本競賽題：已知a^2+5a+25=0，求a^3的值。這道題a在實數範圍內也是沒有解的，所以競賽題並不限定為實數。

這樣的看法有一定道理，但是有兩個問題需要注意。一是初中階段各種數學題一般是預設在實數範圍內；二是日本那道競賽題考查的也不是解方程，也就是說我們不需要解出a的值同樣可以得到答案，因為我們可以採取整體代入的思想。這道題卻不一樣，考查的就是解方程，所以預設實數範圍內。

這道題就和大家分享到這裡，你有好題也歡迎分享！