哲學園鳴謝
數學分析對於數學專業的學生是邁進大學大門後，需要修的第一門課，也是最基礎最重要的一門課程。但對於非數學專業的朋友們是個陌生的概念，如果身邊有人問我數學分析學什麼？我會毫不猶豫地告訴他們就是微積分，那麼似乎所有人都會接著提一個問題：那和我們學的微積分有什麼差異？為什麼我們學一學期你們要學一年半到兩年啊？囧... ...這個問題就不容易回答了，於是我只能應付說學得細了，但其實並非僅僅如此。
對這個問題我在學習數學分析的過程中是不能說清楚的，正因為如此，起先學分析完全是亂學，沒有重點沒有次序的模仿，其結果就是感覺自己學到的東西好比是一條細線拴著好多個大秤砣，只要有一點斷開，整個知識系統頓時傾覆。我也一直在思考這個問題，但直到學了一學期實變函式論之後，我才意識到數分與高數真正的區別在於何處。
先從微積分說起，在國內微積分這門課程大致是供文科、經濟類學生選修的，其知識結構非常清晰，主要內容就是要說清兩件事：第一件介紹兩種運算，求導與求不定積分，並且說明它們互為逆運算。第二件介紹基礎的微分學和積分學，並且給出它們之間的聯絡——Newton-Leibniz公式。這裡需要強調的是，求不定積分作為求導數的逆運算屬於微分學而不屬於積分學，真正屬於積分學的是Riemann定積分。不定積分與定積分雖然在字面上只差一字，但從數學定義來看卻有本質的區別，不定積分是找一個函式的原函式，而Riemann定積分則是求Riemann和的極限，事實上它們之間毫無關係，既存在著沒有原函式但Riemann可積的函式，也存在著有原函式但Riemann不可積的函式。但無論如何Newton-Leibniz公式好比一座橋樑溝通了不定積分（微分學）和定積分（積分學），這也是Newton-Leibniz公式被稱為微積分基本定理的原因。因此我們可以看出，微積分的核心內容就是學習兩種新運算，瞭解兩樣新概念，熟悉一條基本定理而已。
對於高等數學要求的層面就要比微積分高一些了，國內高等數學主要是為非數學專業的理工科學生開設的，主要的目的是解決工程上遇到的一些問題，例如求體積、求周長，求速度等等。所以高等數學除了要介紹數學知識更要學生理解各個數學概念的實際意義是什麼。比如求導可以理解為求瞬時速度，可以理解求增長律，積分可以理解為求面積，求功等等。對於實際問題，資料往往是複雜的，算式也往往是冗長的，對於不易積分，不易求導的實際問題，我們怎麼去求其高精度的近似解呢？那麼就需要引進級數這一概念，例如將不易找到原函式的函式進行Taylor展開再逐項積，再例如利用Newton差值法計算方程的近似解。在這些問題中最令人苦惱的往往都是複雜的計算，是故高等數學對學生的計算能力要求非常高。於是高等數學的主要內容就是三條：理解數學概念背後的實際含義，熟練運用數學工具求導求積分，會使用一些手段對實際問題進行精確估計。這些可以看作是對微積分的運用，但一切仍然停留在對運算理解上。
而數學分析與以上兩門課程有著本質的區別，數學分析作為數學系本科生的基礎課是整個分析學的基礎。什麼是分析學？是分析變數以及諸多變數之間關係的學科，在數學中主要利用函式來刻畫變數與變數間的關係，所以數學分析的研究主體應當是函式。在中學，我們已經學習過六類簡單初等函式（常指對冪，正反三角），並且學習過一些研究初等函式的手段，但這些函式都是極其特殊的，比如他們都是逐段連續的，並且是無窮階可導的。而學習數學分析的目的就是將函式系進行大範圍擴張，去學習並且研究那些解析式不規則、不連續或者不可導的函式，這樣的函式比起連續的函式可以說要多無窮多倍。那用什麼方式去刻畫這樣的函式呢？數學分析中介紹的方法主要有兩個：含參變數積分與函式項級數。特別的，所有的初等函式都可以表示為函式項級數，但函式項級數要比初等函式的範圍大很多很多，我們可以利用它構造各種千奇百怪的函式，例如處處不可導的連續函式，在有界區間內影象長度為無窮大的函式等等。這些函式的表示要比初等函式複雜很多，研究其變化性質就會變得困難得多，對此我們需要學習一些系統的定理與方法，將這些知識組合在一起就構成了數學分析這門學科。與微積分、高等數學有明顯的區分，學數學分析的目的不是學習導數或者積分這樣的運算，而是要擴大函式範圍，學習研究複雜函式的方法。
記得在學習數學分析的時候，我曾經查閱過Liouville和Chebyshev的文章，特意去了解那些不具有初等原函式的初等函式。當時去看這些文章的初衷主要是覺得這樣的函式太神奇，太不可思議了。對於其中不懂的問題，我曾經請教過老師，但沒想到會招來老師極度的不滿：“你研究這個毫無意義，你之所以覺得這種函式有趣，是因為你腦子裡對初等函式與複雜函式還是有明顯的界限，說明你沒學懂，如果你把數學分析真的學懂了，你就會認識到研究這種問題，就和討論sin(x)為什麼不是ln(x)一模一樣的無聊... ...”