數學速記小知識：三點共線可以推出什麼

三點共線是數學中的一種術語，屬幾何類問題，指的是三點在同一條直線上。可以設三點為A、B、C，利用向量可以推出λAB=AC（其中λ為非零實數）。

三點共線性質及證明方法

第一大類：純幾何

①原始定義：證明ABC（依次排列，B在AC之間）三點共線，只證∠ABC=180°或者AC=AB+BC。

這個很好理解。

衍生出方法：

1.外面還有D點，而且DB⊥AB且DB⊥CB則ABC三點共線。

2.對頂角相等的逆定理

②線段比值法：著名的梅涅勞斯定理（逆定理）

③用已知定理。數學裡面有很多定理是用來證明三點共線的，比如尤拉線定理、西姆松定理、帕斯卡定理……只要看題目裡面的情境是不是符合這些定理成立的條件。

第二大類：解析幾何——平面向量

證明向量AB和向量BC平行（即AB向量=αBC向量，α是非零實數），當然也可以證明向量AC和BC，AB和AC共線……

衍生方法：①證明AB、BC共用同一個法向量n即n·AB=n·AC=0②證明AB·BC（點乘）=|AB|·|AC|或-|AB||AC|。③相對來說稍微高深一點的：另外找一點D，如果向量DB可以寫成 a向量DA+(1-a)向量DC這種形式，則ABC三點共線。就用上述AB向量=αBC向量這個條件，把AB換成DB-DA，BC換成DC-DB帶進去就得到。

第三大類：解析幾何——方程

證明A、B、C三個點座標滿足同一個直線方程y=kx+b（當然直線也可能時其他形式，比如Ax+By+C=0）。衍生方法：可以證明AB直線斜率等於BC斜率。