大家好，今天和大家分享一道初中數學競賽題：已知a²-a-1=0，b²-b-1=0，且a≠b，求a^5+b^5的值。不少初中學生看到這道題都感覺頭痛，不過學霸看到後卻說是送分題，下面我們一起來看一下這道題。
一元二次方程是初中數學非常重要的知識點，可以說是貫穿了整個中學數學的學習當中。比如後期學習的二次函式、一元二次不等式等都會用到一元二次方程的相關知識，而且在中考中一元二次方程也是一個必考點。這道題究竟該怎麼做呢？為什麼會有不少學生被難住？
此題是一元二次方程的簡單應用，一些同學看到這道題的第一想法就是先解出a、b的值，然後再代入所求式子中。這個方法不是說不行，但是計算量太大(如下圖)。首先a、b都帶有根號，不好計算；其次a、b都有兩個值，需要分類討論，計算量大。相信一般人算了幾步就不想算了，被難住的學生也是被卡在這兒了。
不過這道題倒讓我想起了一道日本的初中數學競賽題。題目是：已知a²+5a+25=0，求a³的值。
有人也是想先解出a的值，然後代入。但是求解a的值時會發現原來的方程沒有實數根，也就是在實數範圍內解不出a，那麼應該怎麼辦呢？其實也很簡單，那就是用到了初中數學一個重要的思想：整體代入。也就是將a²作為一個整體代入到a³中，然後計算即可得到答案(如下圖)。
再回到開始的這道題，我們也可以將a²和b²分別作為一個整體代入到所求式子中。原式次數比較高，我們需要幾次代換以達到降冪的目的，最終可以化簡為5(a+b)+6。化簡到這一步，只需要求出a+b的值即可。
求a+b的值又涉及到了初中一元二次方程的一個常見的考法。
因為a²-a-1=0，b²-b-1=0，所以a、b就是方程x²-x-1=0的兩個根，那麼根據韋達定理就可以得到a+b=1，再代入化簡後的式子即可得到答案(詳細過程見下圖)。
其實這道題的難度真的不算大，主要以一元二次方程為載體考查了整體代入的思想和韋達定理。這些知識都是中學包括初中和高中數學的常考知識點，中學生一定要掌握，而且需要能夠非常熟練的運用。只要掌握了這兩個知識點，此題就是一道送分題。
這道初中數學競賽題，不少學生覺得很難，學霸卻說是送分題。你覺得難嗎？