一道全國初中數學聯賽決賽題目，看似簡單，據說正確率不到10％

大家好，本文和大家分享一道全國初中數學聯賽決賽的題目。題目是一道解雙根號的方程，看似非常簡單，但是據說當年正確率不到10％，快來看看你是否會做呢(題目見下圖)？

這是是一道解雙根號方程的題目，而且都是二次根式。在初中階段，二次根式一般是指形如√a的式子，其中a為非負數，叫被開方數。二次根式最重要的性質是具有雙重非負性，即被開方數為非負數，二次根式本身的值也是一個非負數。

解雙根號的二次根式方程，初中階段常用的方法有兩種：平方法和換元法。我們先來看一下下面一個簡單的例子(如下圖)。

這就是一個很簡單但是又很典型的雙根號方程問題。下面詳細講解平方法和換元法求解的過程。

用平方法求解時，我們先將兩個根號分別移動到等號的兩邊，而不是直接平方，這樣做的目的是為了減少後面的計算量。如果有興趣你也可以直接平方計算一次，然後進行對比，就會發現這種處理的好處了。具體過程見下圖。

先將兩個根號分別令為a和b，那麼就有a+b=2；然後觀察兩個被開方數的特徵，可以發現兩個被開方數之差為2，即a²-b²也等於2，再用平方差公式進行分解就可以得到a-b=1。聯立即可求出a和b，然後反解出x。具體過程見下圖。

不管是平方法還是換元法，解出x後要進行檢驗，保證根式有意義。當然，也可以先根據根式有意義求出x的範圍。

我們再回到這道競賽題。這道題如果用平方法，那麼計算量將會非常大，甚至會出現4次方的形式，因為方程的右邊出現了x，所以平方法不太適合。下面我們再來看一下換元法。

同樣，先令2個根式分別為a和b，再觀察被開方數的形式，可以發現兩個被開方數之差為14x，於是得到a、b的方程組，先解出a、b，再代入反解x。詳細過程見下圖。

從上面的解題過程來看，此題實際上並不難，但是和平時做的題不一樣的地方在於：平時的題a和b解出來一般是一個具體的數，而此題卻含有x，導致一些同學不敢繼續往下算。

下面我們再講另外一種方法：分子有理化。

先將方程的分母看成“1”，然後進行分子有理化，這樣可以得到兩個根式之差的值，並且方程的右邊是一個純數字。這樣一處理，就和平時的題目類似了。具體過程見下圖。

其實，在得到兩個根式之差後，除了上圖中的平方法，還可以用換元法，也可以直接把處理後的方程與原方程組成一個方程組進行求解。分子有理化也是解雙根式方程的一種重要方法，包括前面那個基礎題也可以使用，有興趣的同學可以自己做一下。

此題的難度其實並不大，但是正確率卻並不高。一是方程右邊出現了x，二是解出的x有兩個值，需要驗證。如果是你，你做對了嗎？