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越是基本的數學定理，越是美妙，我們來看一個數學中非常漂亮的定理，美妙到都難以找到第二個來相媲美——對偶原理。
對偶原理最先出現在射影幾何當中，平面幾何描述為：
在射影平面中，把一個定理的“點”和“直線”對互換，然後其相對應的性質也替換後，得到的命題依然成立。該定理的證明極不容易，說到發現過程，我們要追溯到300年前的1640年，16歲的法國數學家帕斯卡（1623~1662），發現了著名的“六邊形定理”。
Pascal六邊形定理：如果一個六邊形內接於一條圓錐曲線，則該六邊形的三對對邊的交點共線。
然後到了1806年的，法國一位大學生布列安桑，得到了另外一個著名的“六邊形定理”。
Brianchon六邊形定理：如果一個六邊形的六條邊都和一條圓錐曲線相切，則該六邊形的三對頂點的連線相交於一點。
在這之前，數學家已經開始注意到，幾何當中“點線面“之間的神秘聯絡，Pascal定理和Brianchon定理之間的美妙對稱，讓數學家堅信了這之間，肯定存在不為人知的奧秘，並試圖證明“對偶原理”。
對偶原理的特殊性，註定了無法從幾何上得到一般性證明，直到進入二十世紀後，數學公理化的建立，才推動了該原理的邏輯證明。
在使用對偶定理前，我們必須有個約定：平面中的直線相交於無窮遠，三維中的平行面共線於無窮遠……。
這純粹是一個數學處理技巧，好比在代數中，我們約定無窮大不是數一樣。
如果沒有這個約定，那麼對偶原理將存在眾多例外；一旦有了這個約定，對偶原理將沒有例外地上升到三維，四維，甚至更高的n維幾何中成立。
然後我們就可以，隨心所欲地操控對偶原理了！
比如：
1、平面內，過兩點只能做一條直線；
對偶原理：兩條線只能交於一點；
2、平面內，不相交的三點，可唯一確定過這三點的圓；
對偶原理：不共線的三條線，可唯一確定相切於這三條直線的圓；
在射影幾何中，很多難以證明的定理，經過對偶轉換後，反而更容易得到證明。
而且對偶原理包含的思想，遠不止於數學當中：
1、電磁學中，磁場和電場在某些條件下，也有這樣的對偶性；
2、在電路分析中，並聯和串聯、電容與電抗、電流和電壓，也滿足類似的對偶變換；
3、在邏輯學中，“ “和”-“、“1”和“0”滿足這樣的對偶變換；
……
甚至，幾乎在任何領域，都能找到類似對偶定理的影子，或許這正是一種對稱性的體現，而對稱性普遍存在於我們的宇宙當中。
在數學中，對偶原理把真理的對稱性，以非常美妙的形式體現了出來，這也推動著數學各個分支的發展。
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