數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

在學習和日常生活中,不少人認為數學是理性的、枯燥的。但其實數學是純粹的。它不需要華麗的修飾,一道道簡潔又從容的公式,就能表達出這種純粹的邏輯之美。素數出現在我們的生活中,又體現在生物進化的歷程中,更讓無數的數學家為之嘔心瀝血、如痴如醉。

以下內容為中國科學院數學研究所博士生導師、研究員徐曉平演講實錄:

一提到數學,一般人都覺得太枯燥無味。但細細想、細細看,它又無處不在。今天我們從邏輯的角度,來領略數學的美

首先,什麼是數學?它是科學的描述研究事物規律的方法和工具,是人類邏輯思維文明的重要體現,更是邏輯思維文明的發展平臺

我曾經問一個法國教授,數學有什麼用?他告訴我,數學能使人更聰明,數學的價值不能單靠物質上是否有用來衡量。美國華爾街的金融機構,僱傭了大量的數學博士,看重的就是他們邏輯思維能力。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

素數之美

自然數1、2、3、4、5,出現在古代人類文明中有五千年以上的歷史。可是人們對自然數的認識,卻是一個漫長髮展的過程。比如說素數,也稱為質數,是大於1的整數,它不能寫成小於它的兩個正整數之積,例如素數2、3、5、7、11、13、17、19等。

素數最早出現在古代埃及分數中。有5張大餅平均分給8個人,怎麼分?先看古埃及怎麼分,將其中4張各切成兩半,剩下張切成8塊,每個人的份額是半塊加1/8塊。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

用現代數學表示,就是5/8等於1/2加1/8,它就是一個埃及素數。它是古埃及人刺在一種不易腐爛的樹葉上的分配方案,是考古學家發現的。如果一個數是有限個分子為一的分數之和,它被稱為埃及分數。古埃及人在類似的分配方案中,意識到了素數的特性

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

對素數的研究的記載,最早出現在公元前300年的古希臘人歐幾里得的《幾何原本》中。歐幾里得證明了有無窮多個素數,那麼有沒有更好的數素數方法呢?有,這就是所謂的素數定理

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

我們數數看,小於X的正整數里有多少個素數?X小的時候能數,X大了很難數了。而素數定理告訴你,當X充分大的時候,這個值與X除於LnX的值相近。近看小於x的素數值看不出所以然來,遠看它卻表現出優美的規律,X除以lnX,這就是數學的美妙之處。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

這是18世紀末,由高斯和勒讓德獨立發現的,但是並不是由他們證明。他們的發現只是一種猜測。兩個人試圖證明過,但沒有成功。後來Chebyshev在1851年,Riemann在1859年嘗試過並取得了進展,但是還是沒有完全解決問題。

最終,1896年,HadamardPoussin獨立地完成了證明。也許你會問素數有什麼用?動物學家發現某些蟬的演化用到了素數。這些蟲的一生,大多數時間以蛆的形式生活在地下,到化蛹出地洞需要7、13或17年,出來後翻飛繁殖,最多幾周就死亡了。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

為什麼這些蟲要素數年後才出洞呢?據說是為了減少被天敵追殺的機率。70年代,素數不僅是發明公鑰密碼演算法的基礎,還是現代許多數學領域裡發展的根基

公式之美

上世紀初,印度的天才數學家Ramanujan,在劍橋大學見到Hardy之前,給Hardy寫了一封信,內含他發現的等式。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

左邊是個無窮的連分式,而右邊卻是個簡潔的初等的表示式。Hardy看到後說:“它完全擊潰了我,我之前一點也沒有看過這樣的東西,只有一流的數學家才能寫出來!”,這就是讓人眼前一亮的數學

下面的例子跟我們的日常生活有關。一個自然數n的分割函式,是n個物體分配方案的個數,比如說n等於2有兩種分法;n等於3有三種分法;等n等於4的時候就不是4種分法了,而是5種分法;n等於5,有7種分法。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

我們看一下數字,P(2)等於2,P(3)等於3,P(4)等於5,P(5)等於7,P(10)等於42。大家看到P(100)已經很大,而到P(200)那就更大。看了這組資料以後,你可能會說增長太快了,沒法數,但是有人會數。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

HardyRamanujan在1918年,Uspensky在1920年獨立證明“當n充分大時,P(n)與近似號右邊的初等函式的值相近。同樣,近看P(n)的數字跳躍的很厲害,看不出什麼規律,遠看它卻以一個初等函式的規律顯示出來,這個結果是猜不出來的。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

他們是用了數論裡面的圓法,經過複雜的計算得到的,他們做出了別人難以想象的結果,分割函式也常出現在量子物理中

數學的“殘缺美”

聽說過“殘缺美”這個詞吧?我們不得不想到,維納斯女神的斷臂雕像。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

如果不是斷臂,它只是普通西方女人的雕像,誰也記不住,可是一斷臂,讓看過的人終生難忘。那麼數學上有沒有這樣的事情呢?

1637年費爾馬在閱讀丟番圖《算術》的拉丁文譯本,寫到:“不可能把一個正整數的三次方,分成兩個正整數的三次方之和;不可能把一個數的四次方,寫成兩個正整數的四次方之和;對正整數的更高次冪也類似。我發現了一個奇妙的證明,但這個空格太小了,寫不下。”

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

這就是所謂的費爾馬大定理。用公式寫就是,對大於2的整數n,不存在正整數abc,使得a的n次冪加b的n次冪等於c的n次冪。其實費爾馬自己只證明了n等於4的情形。尤拉證明了n等於3的情形。1995年,由當時在普林斯頓大學的Andrew wiles教授所證明。他現在在英國牛津大學。

由於沒有看到費爾馬留下的證明,人們嘗試證明它的過程中發展了代數數論、橢圓曲線理論、Hecke代數理論等。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

如果費爾馬真的證明了並把證明留下來,那麼這些理論的發展很可能延緩,所以這就是數學的“殘缺美”

還有沒有解決的數學難題嗎?有。對我們中國來講,最熟悉的就是哥德巴赫猜測

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

一個大於2的偶數都可以寫成兩個素數之和,這就是所謂的“1加1”問題。例如4等於2加2,6等於3加3,8等於3加5,10等於3加7,也等於5加5,12等於5加7等等,人們用計算機驗證了所有小於等於4乘10的18次方的偶數,結論都對,可是到現在為止,人們仍然無法證明它。

1973年,我國著名的數學家陳景潤證明,一個大於2的偶數可以寫成兩個素數之和,或一個素數加上兩個素數之積。這就解決了所謂的1加2問題,這是該方向迄今為止最好的結果。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

除此之外,還有一個問題叫做孿生素數猜測,存在無窮多個素數p,使得p+2也是素數,這是個千古之謎。到2013年,華人數學家張益唐證明了存在無窮多個素數,使得從p到p加7000萬這個區間內也含素數,這是數論領域裡面一項革命性的工作。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

在這之前人們不知道是否有這樣的有限區間存在,在這之後格林陶哲軒等人用張益唐的方法把7000萬改到200,取得了很大的進展,但是離最後的結果2還相差很遠,演算法上還需要改進。

我們常看到星星,可能沒注意到有一個多體問題。物理學家和數學家一直試圖找出相互有引力的n個物體的運動軌跡,n等於2時,已經被約翰·伯努利在17世紀解決;當n大於2時,卻至今沒有解決。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

2007年我在解n個物體在一條直線上的特殊模型時,發現了具有高斯超幾何函式3個基本性質的多元超幾何函式。在1798年的博士論文中,高斯引進了著名的單變元超幾何函式,它的重要性就是由這三個基本性質匯出的。

流體我們都熟悉,Navier-Stokes方程就是流體力學中基本方程。

數學之美!數學家的這些興奮點,你能理解嗎?

對任意給定一個光滑的初始條件,是否有光滑的整體解,這是數學界一個長期未解決的數學問題,也稱為千禧問題,如果誰能解決就能得到一百萬美元的獎金

未解之難題,未登之高峰

2009年我利用該方程的代數特點和運動變化,得到了一些人反映特殊物理現象的奇異解,如漩渦。當然還有許多數學問題有待人探索。

也許你會問數學家為什麼努力解決這些問題?因為這些問題是邏輯思維的標杆,解決它們就代表人類邏輯思維能力達到了新的高度,就像登山愛好者攀登高峰一樣。

1993年我去西班牙參加一個代數會議,在會議間歇期間,我問一個來自美國威斯康星大學的資深教授,為什麼在他報告的Novikov代數分類中,要假設特定的條件。他說沒有這些條件我做不出來。

回到單位我很好奇地自問,沒有這些條件的障礙在哪?在辦公室想,在家也想,都沒想出個所以然。

但在某一次登山的過程中,我又想了想,突然靈光一閃,想到了掃除這些障礙的方法。當時我覺得比別人中彩票還高興,數學家一旦解決長期沒解決的問題,這種喜悅絕對超過掙到一百萬塊錢

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