首先表明观点：的确有关系。
美国的反疫苗运动其实反映的是现代发达国家公共卫生面临的一个共同的困境。随着公共卫生事业的发展以及医学的进步，烈性传染病逐渐变得不这么可怕甚至于消失在公众的目光之中，例如天花，百日咳，脊髓灰质炎，因此群众就会低估这些只存在“传说”中的疾病以及疫苗接种的重要性。于此同时，疫苗也跟别的医疗技术一样存在自己的缺陷，极低的情况下接种会产生强烈的副作用如发热，腹泻等，极端情况下引起死亡。虽然对于公共卫生决策者来说这是明显的利大于弊，但对于受害者及其家庭来说就是灾难。由于缺少传染病的威胁，以及对疫苗副作用的恐惧，发达国家的疫苗接种率有所下降某种程度来说是必然的状况。
但美国的反疫苗运动还有一个更重要的起因，那就是 MMR 疫苗(也就是麻疹，腮腺炎，风疹三联疫苗)引起孤独症(autism)这个误解的广泛传播。MMR 疫苗第一次接种是在一岁左右，而孤独症的症状出现于一到三岁之间，这个时间上的巧合引起了家长们对疫苗的最初疑虑。而真正的导火索是 1998 年英国肠道病学家 Andrew Wakefield 发表在柳叶刀杂志(The Lancet)上的一篇关于发现 MMR 疫苗引起肠内发炎而导致孤独症的文章。这篇文章引起了英国民众对 MMR 疫苗的抵制，同时引起了麻疹感染案例的反弹上升。而在美国，由于 MMR 疫苗里的防腐剂硫柳汞(thimerosal)含汞这种神经毒素，民众更加认为 MMR 疫苗会损伤幼儿的神经系统从而导致孤独症。自此之后，各种流言开始在美国传播，一些律师和记者也开始参与进来向美国政府及相关研究机构开火，质疑美国政府和研究机构为了大型制药公司的利益而为其辩护，隐瞒疫苗的危险性的同时夸大其作用。虽然很多流行病学研究已经表明 MMR 疫苗并不会引起孤独症，Andrew Wakefield 的文章也因为严重的学术纰漏而被柳叶刀撤下，硫柳汞也早已禁用，但是美国群众对 MMR 疫苗的偏见已经种下，各种势力加一些公众人物的引导使这场反疫苗运动越演越烈。而这场运动的结果就是孤独症数量继续增多的同时疫苗接种率持续下降，从而给予了于 2000 年已经在美国完全绝迹的麻疹重新流行的机会，就如题主展示的那张图一样。
下面这张照片引用自华盛顿邮报的一篇报道，背景是在 2010 年 1 月 28 号 Andrew Wakefield 参加完英国医学总会关于他本人学术道德问题的听证会后接受媒体采访。这次听证会裁定他在孤独症与 MMR 关联性研究中存在不道德学术行为。但我的重点不在他本人身上，而是在围绕在他身边的支持者身上。可以看出，一部分群众对科学界和权威十分的不信任甚至是抗拒，以至于他们在证据确凿的情况下还能以“替罪羔羊”、“医学总会被医疗腐败统治”这样的借口为 Andrew Wakefield 洗脱。
当然我觉得并不是所有拒绝给孩子接种疫苗的美国家长都坚信 MMR 疫苗会引起孤独症，但是对于自己孩子患上孤独症这种恐惧使得他们宁可信其有，不愿信其无。毕竟孤独症对于他们来说有太多身边的例子了，而麻疹他们可能连患者照片都没见过。所以就如我一开始说的，发达国家之前公共卫生的成功反而助长了反疫苗运动。