大家好！今天和大家分享一道加拿大初中数学奥林匹克竞赛题：解三元二次方程组。题目是一个看起来并不复杂的三元二次方程组，但是有老师拿给任教的初中生做时，整体正确率只有不到5%。下面我们一起来看一下这道竞赛题。
题目如上：解方程组：xy=z-x-y，xz=y-x-z，yz=x-y-z。
先观察一下这个方程组的特点，很明显每个方程的形式都是一样的，是一个循环形式的方程组。再仔细观察一下可以轻松看出，x=y=z=0和x=y=z=-1都是方程组的解。但是如何求出这两组解以及除了这两组解还有没有其他解呢？
这是一个多元方程组，而解多元方程组的基本思路就是消元，常用的消元的方法有代入消元法和加减消元法。比如我们初中学到的二元一次方程组和三元一次方程组的解法都是如此，所以此题虽然是一道多元高次方程组，同样可以尝试消元。
将方程依次标上序号，然后将式子进行加减变换。但是因为左边有乘积的形式，所以与一次方程不太一样，并不会简单的消去其中的一个未知数，后面还是有3个未知数。不过继续对式子进行处理，那么就可以得到x=-2或者y=z，然后再进行分类讨论就可以求出原方程组的解。
加减消元法除了可以用上面的两式相减的方法来做，同样可以用两式相加的方法来做。解题的过程基本差不多，在此就不赘述了。
代入消元法是将其中的一个未知数用其他未知数表示出来，再代入其他方程的方法。比如本题中，由式子①可以表示出z=xy+x+y，再代入式子②就可以得到x=-2或者y=-1，分别讨论可以求出相应的解。再将z=xy+x+y代入式子③，可以得到y=-2或者x=-1，同样分类讨论可以求出相应的解。再加上x=y=z=0这组解即可。
代入消元法除了可以先表示出z，将z代入②和③中求解，还可以先表示出x和y，再代入求值。不过，从式子的形式就可以看出来，先表示出x和y都是分式形式，所以计算量相对更大，而且需要注意代入式子的顺序，否则就更难计算了。
为了适当减少计算量，可以采取先将x表示出来然后代入式子②，求出对应的解；再将y表示出的关系式代入式子③，可以再求出对应的解。
从上面的过程可以看出，本题的难点主要有三点：一是消元的过程不像三元一次方程组那么简单明了；二是整个过程都用到了分类讨论的思想；三是容易漏解，特别是后面代入消元法的两个解题过程非常容易出现漏解的情况。正是这三个难点，所以能够真正完全做对的学生不到5%。你能完全做对吗？