前言：
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一、互质定理
互质定理：
若两数互质，则其和与差分别与两数互质。同为偶数时除了2之外再无公因子，同为奇数时互质。
这应该是一个简单又重要的定理，但查阅了许多资料，却没有发现相关存在。只见到一些零星结论，如小合数与大素数互质，相邻整数互质……
特证明如下：
设A⊥B，A＋B＝C，A－B＝D。
因为数A与数B互质，则二者无共同素因子。假如A、B的和与差与二者之一含有相同因子，则提取公因子后将推导出另外一数也必定含有该因子。这又与A、B互质矛盾，故不成立。
即：
A＝C－B＝P﹙C／P－B／P﹚，Ｂ＝C－Ａ＝P﹙C／P－Ａ／P﹚；或者A＝Ｄ＋B＝P﹙Ｄ／P＋B／P﹚，Ｂ＝Ａ－Ｄ＝P﹙Ａ／P－Ｄ／P﹚。
上式均不能成立，因此得出：Ａ⊥Ｂ⊥Ｃ，Ａ⊥B⊥D。
将A＋B＝C与A－B＝D加减，得：
２Ａ＝Ｃ＋Ｄ，２B＝C－D。
若C、D同为偶数，且除了2之外还有公因子。则2A＝2P﹙C／2P＋D／2P﹚，2B＝2P﹙C／2P－D／2P﹚。
这和C、D与A、B互质矛盾，等式不成立。
若C、D同为奇数，且拥有公因子，则2A＝P﹙C／P＋D／P﹚，2B＝P﹙C／P－D／P﹚。
这和C、D与A、B互质矛盾，等式不成立。
所以，当和C与差D同为偶数时，除了2之外再无公因子，同为奇数时互质。
例如：
69＋35＝3×23＋5×7＝104＝2×2×2×13
69﹣35＝3×23－5×7＝34＝2×17
69⊥35⊥104，69⊥35⊥34。104与34除了2之外，再无公因子。
例如：
76＋21＝﹙2×2×19﹚＋﹙3×7﹚＝97；76－21＝55＝5×11。
76⊥21⊥97⊥55。
二、二次筛选原理的逆运用
二次筛选的原理为：
如果整数N为合数，则其一定包含了小于√N的素因子。
反之，从中可以得到：
一个整数小于素数P的平方，又不包含比P小的素因子，必定是一个素数。
结合互质定理，推论出：
由完整素数序列P1、P2、P3……Pn相乘的组合数字，其和与差均不包含序列中的素因子。当该数小于P﹙n＋1﹚的平方时，必定是一个素数。
即，由前数推导后数，可以得出﹙Pn，P﹙n＋1﹚^2﹚内的全体素数。
例如：
2×3×5＋7×11＝30＋77＝107
107与30、77互质，不含素因子2、3、5、7、11，又小于13的平方169。所以，不需要再做素性判定了，它肯定是一个素数。
假设人之初，我们只有唯一的数字1。
由1＋1＝2，且2只能被自身与1整除，得出它是唯一的偶素数，2＋1＝3是最小的奇素数。
继而推论，比3^2＝9小的合数必含因子2。由2＋3＝5，2＋5＝7，得出5、7必然不含因子2，是素数。
由5、7推导出，小于5^2＝25的合数必含因子2、3，小于7^2＝49的合数必含因子2、3、5，否则便是素数。
延长素因子的序列链，加减新产生的素数，从而递升出全体素数。
2×3＋5＝11 …… 2×5＋3＝13 …… 3×5＋2＝17
2×3＋11＝19 …… 2×3＋17＝23
2×7＋3×5＝29 …… 2×5＋3×7＝31 …… 2×3×5＋7＝37
2×3×5＋11＝41 …… 2×3×5＋13＝43 …… 2×3×5＋17＝47
……
三、递升算法的五种运用
一、 加减法
利用素数序列形成的互质数加减，自动排斥[2，P]区间内的素因子，当得数比P﹙n＋1﹚的平方小，即为素数。
例如：
2×3×7＋5×11＝97
2×3×5×7－11×13＝67
二、 除法
利用奇素数的序列组合加减，将得数除尽因子2，当小于P﹙n＋1﹚平方时即为素数。
例如：
331＝﹙5×11×17－3×7×13﹚／2
347＝﹙3×5×13×17－7×7×11﹚／8
三、 扩大上界
即使算法产生的得数大于了上界P﹙n＋1﹚平方，但因为P﹙n＋1﹚、P﹙n＋2﹚……的组合有限，排除掉若干组合数之后，剩余均为素数。
例如：
小于23×23＝529又不含17以内素因子的合数，仅仅有19×19＝361与19×23＝437两个。
所以，尽管5×11×17－2×3×7×13＝389超出了上界，必定还是素数。
四、 指数加权
互质数的因子以指数增长，并不影响互质的性质。对素数序列进行指数加权，按照上述的方式操作，依旧得到素数。
例如：
23＝3×3×3－2×2
263＝2×5×7×11－3×13^2
五、 缺项排斥
如果素数的序列链缺失了某因子，而得数又不含该因子，算法依旧成立。
例如：
2×3×7×11－13×17＝241，尽管缺失了因子5，得数却不含5，所以是一个素数。
2×3^2×7×11－13×17＝1165，除尽5之后得到的233＜19^2，必定是素数。
四、递升算法输出全体素数的证明
设P为任意奇素数，N为不含P因子的正整数。
则P＝﹙P＋N﹚－N，或者P＝﹙P－N﹚＋N。由互质定理得出，﹙P＋N﹚、﹙P－N﹚与N、P均互质。
随着N的变化，Ｐ将遍历不含本因子的所有互质数加减。
任意取一条不含P的素因子序列长链，必然有对应的互质数N加减之后得到P。只要调整素因子长链与互质数，必定能够生成该数。
说明，无论P为什么素数，递升算法一定包含了它的多种输出形式。
例如：
数字199，遍历﹙1＋198﹚、﹙2＋197﹚、﹙3＋196﹚……﹙200－1﹚、﹙201－2﹚、﹙202－3﹚……等无穷形式。
距离最近的素数序列链为2×3×5×7＝210，容易得到2×3×5×7－11＝199。它虽然超出上界13^2＝169，却小于13×17＝221，必为素数。
其实这也属于缺项排斥，序列里缺少了因子13。假如缺3和5，结合指数加权便成为了算式：199＝2^3×7＋11×13。
满因子链的指数加权，则是：199＝2×2×2×2×3×5×5－7×11×13。
甚至采取暴力的方式，用满因子序列链直接减，得到：199＝5×7×11×13－2×3×3×3×89。该数与89及17以下的全体素因子互质，又小于17的平方289，必然是一个素数。
例如，47。
简单的递升算法为：2×3×5＋17＝47。
复杂的递升算法为：5×5×5×5×5×5×5×5－2×3×7×11×13×13＝47。
五、寻找超大素数
受到上界的限制，递升算法只能够输出素数。
一旦放弃上界，将面临该数有可能是合数的问题。但素因子长链被释放了，轻易便生成了超大素数。
每一个大素数的获取都要消耗庞大资源，寻找途径往往是对大整数作素性判定。例如梅森素数，广义费马数，乌拉姆螺旋对角线数……等等。
随着n趋于无穷大，素数分布也趋向于0。从一堆大整数里分离出大素数，相当于大海捞针。
第51个梅森素数（2p－1）达到了24862048位，P＝82,589,933，意味着输出概率仅为0.00006％。
以下是我通过递升算法，对单因子加权之后统计的大素数输出概率。复合加权的方式繁多，也可以。
10^13﹙万亿级﹚：计算65次，产生素数24个，μ＝37％。
10^14﹙十万亿级﹚：计算80次，产生素数26个，μ＝33％。
10^16﹙千万亿级﹚：计算107次，产生素数28个，μ＝26％
例如，当P#为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43
得：
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41－43^2＝304250263525361
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41＋43^2＝304250263529059
……
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×43－41^4＝319091736971069
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×43＋41^4＝319091855653031
……
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×41×43－37^2＝353588144097821
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×41×43＋37^2＝353588144100559
……
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×37×41×43－31^8＝421171668048689
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×37×41×43＋31^4＝422024560009651
……
2×3×5×7×11×13×17×19×23×31×37×41×43－29＝451129701092041
2×3×5×7×11×13×17×19×23×31×37×41×43＋29^2＝451129701092911
……
2×3×5×7×11×13×17×19×29×31×37×41×43－23＝568815710072587
2×3×5×7×11×13×17×19×29×31×37×41×43＋23^2＝568815710073139
……
2×3×5×7×11×13×17×23×29×31×37×41×43－19^5＝688566383401271
2×3×5×7×11×13×17×23×29×31×37×41×43＋19^3＝688566385884229
……
2×3×5×7×11×13×19×23×29×31×37×41×43－17^5＝769574194560733
2×3×5×7×11×13×19×23×29×31×37×41×43＋17^2＝769574195980879
……
2×3×5×7×11×17×19×23×29×31×37×41×43－13＝1006366256282297
2×3×5×7×11×17×19×23×29×31×37×41×43＋13^3＝1006366256284507
……
2×3×5×7×13×17×19×23×29×31×37×41×43－11＝1189341939242719
2×3×5×7×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋11＝1189341939242741
……
2×3×5×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－7＝1868965904524283
2×3×5×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋7＝1868965904524297
……
2×3×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－5^10＝2616552256568381
2×3×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋5^3＝2616552266334131
……
2×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－3^2＝4360920443890001
2×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋3^2＝4360920443890019
……
3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－2^25＝6541380632280583
3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋2^10＝6541380665836039
……
仔细观察，素数呈现出奇怪的规律。
数轴上，在素因子长链左右距离为缺项因子P的n次方位置，总会冒出两个不一定严格对称的素数。
把上面的式子相减，便得到了素数间距。
针对素数P，恒存在素数间距d＝P^m×﹙P^n＋1﹚，中间夹着一条不含P的素因子长链。
再随机挑选几条超大的长链检查，情况依旧。
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43＋47
＝13082761331670077
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43－47^5
＝13082761102325023
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113
3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47×53×59×61×67×71×73×79
×83×89×97×101×103×107×109×113＋2^4
＝15805027320208803894072603145771831246637343511
3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47×53×59×61×67×71×73×79
×83×89×97×101×103×107×109×113－2^4
＝15805027320208803894072603145771831246637343479
……
小素数的间距同样如此。
2×3×5＋7＝37，2×3×5－7＝23
即：d﹙23，37﹚＝37－23＝7^1×﹙7^0＋1﹚＝7×2＝14
2×3×5×7＋11^2＝331，2×3×5×7－11＝199
即：d﹙199，331﹚＝331－199＝11^1×﹙11^1＋1﹚＝11×12＝132
……
不过，这暂时是一个经验公式。
d＝P^m×﹙P^n＋1﹚，还缺乏严格的理论证明。
可以见到，当m＝n＝0时，d＝2，就是大名鼎鼎的孪生素数猜想。
六、生成素数表
应用了电脑技术后，素数表飞快拓展，一般是在埃氏筛法基础上做二次筛选。
选取1~n 的连续整数，对每一个数用小于√n的整数试除，不能除尽的就是素数。复杂度是O(n√n)，在n非常大时计算量奇高，连电脑也吃不消。
后来改进了算法，排除已经产生的小素数倍数，用小于√n的素数试除。随着n越来越大，计算量还是急剧攀升，难以为继。
递升算法生成素数的速度相当快，我综合了各方面因素，推出辗转相加生成素数表的方式。
用素连乘Pn#与大于Pn之数相加﹙Pn的倍数除外﹚，再与新数辗转相加，直至小于下一级P﹙n＋1﹚#＋P﹙n＋1﹚。
判断﹙ Pn#，P﹙n＋1﹚#＋P﹙n＋1﹚ 的大小，排除大因子倍数，余下即为区间内的全体素数。
参考递升原理，很容易证明不会有素数遗漏，此处省略。
与其它生成素数表的算法相比，它的运算量要少得多，优势明显。
1） 加法比乘法简单。
2） 在辗转相加的过程中自动排斥了小因子倍数。
3） 不需要寻找整数n，试除大因子。
例如：
2# → 3、5、7
3#＝2×3＝6。
将6与上一级2#递升出的大于3的数依次相加，再辗转加以新数，得：
＋5＝11，＋7＝13，＋11＝17，＋13＝19，＋17＝23，＋19＝25，＋23＝29，＋25＝31
小于5的平方25即为素数，排除25。
5#＝2×3×5＝30。
将30与前面大于5的数依次相加﹙5倍数除外﹚，再辗转加以新数，直至小于7#＋7＝217。
得到如下数表：
37、41、43 、47、 49 、53、59 、61、67、71 、73 、77、79、83、89 、91 、97 101、103、107 、109、113、119、121、127、131、133、137、139 、143、149 151、157 、161、163、167、169、173、179 、181、187、191、193、197 、199 203 、209、211
√211 ＞14，说明上表出现了7、11、13的倍数。
不需要一一试除，判断合数为7×7，7×11，7×13，7×17，7×19，7×23，7×29，11×11，11×13，11×17，11×19,，13×13，排除即可。
7#＝2×3×5×7＝210。
得：
221、223、227、229、233、239、 241、247、 251、 253、 257、263、269、271 277、281 、283、289、293、299、307 、311、313、 317、 319、323、331、337 341、347 、349、353、359、361、367 、373 、377、379、383、389、 391、397 401、 403、407、409 、419、421、431、433、 437、439、443、449 、451、457、461、463 、467、 473、479、481、487、491 、 493、499 ……
七、大数分解
大数分解一直是数论中没有解决的难题，也是核心问题。
递升算法提供了一种新的方案。
任意一个素数Q，都被夹在了无穷多的素因子长链中间。必定可以写成一条合适的加权满因子长链，加减互质数。
即，Q＝nP#±X。
例如，397＝2×﹙2×3×5×7﹚－23，1277＝2×3×﹙2×3×5×7﹚＋17
二十一世纪，网络技术迅猛发展。有计算机的地方基本上就会有RSA加密保护，其核心机制是大数不可分解。
利用超大素数Q1、Q2相乘形成超大半素数M，只有分解了M才能够得到完整的密钥。目前尚无一般算法可以解决这个难题，用二次筛选法试除又要耗费漫长的时间，等于不可解。
设M＝Q1×Q2，则M＝﹙n1P1#±x﹚×﹙n2P2#±y﹚
由于在运算中将庞大的M缩小了，再利用数字之间的关联，解开上述的丢番图方程并不困难。
例如，分解半素数133841437。
试除这个上亿级别的半素数，电脑至少要运行1500次。而递升算法只需要几步，徒手就可以完成。
……
133841437＝11551×11587
突然意兴阑珊，不想多写，我把具体的求解过程省略了。
不难，但其中将几何的观念转化为代数方程，值域界定，判断搜索，二分跃迁……也许不容易想到。
原理类似于在摩天大楼找人。
传统方法是从一楼开始辨认每一个人，逐层搜索，直到发现目标为止。一旦楼层太高人数太多，就无法完成任务。
递升算法则是通过若干次校正，判断出正确楼层，再启动搜索。
世界是一个庞大的江湖，一圈圈食物链严密防守着自家的一亩三分地。
学术界并非净土。
不是圈中人，基本没有发声的机会。即使是圈中人，也要先看资历，再看你是从哪个山头下来的，有没有好处……
清华大学的伊特瓦教授，是见过了完整演算的三位数学家之一，觉得某点与一些精致算法不谋而合。于是，给我发来了各国际小组的工作进展及RSA的演变趋势，交流对量子计算与量子加密的看法。
受他提醒，我特意去看了波恩小组著名的大数分解算法ggnfs。
网络上只搜索到零星资料，不清楚具体的数学机制。猜测本质应该是多项式筛选，生成庞大数量的关系式，循环取模。
在某个步骤，“递升算法”的确与它一模一样，接下来却大相径庭。我将越过漫长的数字阶梯，判断并抵达因子所处的层级，计算量小得可以忽略不计。
一台4核电脑用ggnfs分解160位整数得好几个月，假如为“递升算法”编写了良好的程序，可能只需要运行三天。
伊特瓦并不晓得，我的日常工作是搬砖头，没有团队与试验室，纯靠纸笔计算……又发来了一个270位的大数，求分解。
要知道，此前人类公布的最大整数分解才232个十进制位。数学家团队依仗电脑矩阵，运行了许多年。
破解270位大数，将是一个大新闻。
我判断了一下复杂度，感觉即使有超大计算器，以半人工的方式分解也需要一个多月。就只截取了末尾的十位数6373269391，意思意思。
……
6373269391＝3697×1723903，过程略。
分解133841437仅仅花了一分多钟，本次却耗费了十分钟。原因在于，两个因子的大小悬殊，跨越了五个阶梯才寻找到正确的层级。
其它算法恰好相反，因子越小越容易分解。
递升算法，针对RSA有奇效。构成半素数的因子不能差别太大了，否则会降低分解的难度。
经典的费马算法在这一点与递升相似，但它还是要考察二次剩余。面对超级大数，计算量催人泪下。
个人觉得，RSA采用的半素数越来越庞大，密钥生成和解密过程也越来越复杂。导致电脑的运行速度越来越慢，对存储空间的要求越来越大，不利于网络技术的发展。手机联网导致椭圆密钥兴起，敲响了警钟。
在研究g﹙p﹚与π﹙n﹚时，我发现了一种新的加密方式。
仅仅五位数就可以实现10的几千次方组合，属于真正不可破解。又不占内层，加密和解密的速度非常快。
可惜，正因为不可破解，甲乙双方必须传递完整的密钥。一旦存在着互传行为，信息就有被截获的可能，并不完美。
能不能附加一个算法，即使密钥被截获了也解不开？
RSA倚仗的是大数不可分解，但我用来加密的数字本身就不大，显然不能采取同样的方法了。
八、素性判定
从大数分解得知，当递升算法导出的丢番图方程无整数解时，该数即为素数。
分解半素数，我们提前知道了它是两个大素数相乘。判定素性时却不清楚情况，必须相应地调整算法。
原理在于，无论该数有多少个因子，均可以组成最小素因子与大因子相乘。与最小素因子互质的P#，必定与所有因子互质。
只要分离出最小的素因子，便可以判定该数是合数。
如果分离不出来，就说明它是素数。
在最初的文本中，我曾经列举了129301与4567的判定过程，此处省略。
小结如下：
一个整数包含的素因子越多越小越悬殊，用递升算法进行素性判定的过程就越漫长，结合其它算法将事半功倍。
九、递升算法的意义
几千年来，人类没有用自然数n生成所有素数的表达式，也没有用已知素数P推导出所有未知素数的算法。
递升是首个只用数字1便实现了内循环，继而推导出全体素数与自然数的算法，并揭示了素数间距的规律。
颇具中国古典哲学的意味，道生一，一生二，二生三，三生万物……
放开上界的限制，它轻易生成超大素数。
在拓展素数表方面，相当高效。
在素性判定方面，目前除了二次筛选法之外，其它如费马小定理、鲁梅利算法等等，都存在局限，只能在一定范围和概率成立。
递升算法减少了运算量，能够快速精准地判定。
在大数分解方面，递升算法也远比蒙特卡洛法或者连分数法简捷。
针对超大半素数，是目前唯一威胁到RSA安全的。
几乎是一种完美算法了……
世间压根就没有完美的事物，递升的缺陷目前只有我和伊特瓦知道。其实算法可以自洽弥补，却非一夕之功，需要各机构共享资源。
2021年3月3日于荷塘