做数学题可以说是数学学习的核心,学数学最直接、最显著的表现就是做数学题。那么怎样才算会做数学题呢?
(1)能否从题目的条件或结论中获得确切的信息;
(2)能否从记忆中提取与题目相关的信息;
(3)对从上述两个方面提取的信息能否有机地组合;
(4)能否条理化地整理并形成解题的行动序列;
(5)在实施解题序列过程中,推理与运算能否顺利完成。
下面通过具体例子展示对数学试题中信息的收集、加工、处理过程,仅供读者参考。
例1设非零向量a,b,c,若 ,则|p|的取值范围是
A. [0,1]
B. [0,2]
C. [0,3]
D. [-3,3]
分析(I)信息的收集:①非零向量;② 是单位向量;③ 。(II)信息的加工:①分母不为0;②向量 的起点移至原点,终点视为在单位圆上。
(III)信息的处理:①向量 方向相同时|p|最大为3;②向量 的终点均匀分布在单位圆上时|p|最小为0。故选C。
本题涉及的知识点有3个:单位向量,向量运算,模长范围确定;关键是能否看出 是单位向量,方法中隐含数形结合、动态分析。本题体现向量应用的灵活性,难度为中。事实上,若 。
例2已知函数 ,当 时, + ,则有
分析(I)信息的收集:① ;②定义域为 ;③ 。
(II)信息的加工:① 是奇函数;②在上 为单调增函数;③ 。
(III)信息的处理:由(II)中的①、③可得 ,同理可得 , ,从而得 ,故选B。
本题涉及知识点有2个:复合函数的奇偶性,在区间上的单调性,关键是能否从函数的性质入手。本题体现函数性质的综合应用。实际上,由 为奇函数,在上为单调增函数,若 。其它的情况留给读者自己去变。
例3三次函数f(x)的图像过原点,且与x轴相切于非原点的一点,若 时,f(x)有极值-1,则f(x)=_________。
分析(I)信息的收集;①三次函数f(x)的图像过原点;②与x轴相切于非原点的一点;③当 时,f(x)有极值-1。
(II)信息的加工:①令 ;②令切点A,,点A既在原函数图像上又在导函数图像上;③点B(-1,-1)在原函数图像上,点C(-1,0)在导函数图像上。
(III)信息的处理:① , ,得 ;②-1、 的两根,即 ,得b=6a;③ , ,得 ,从而得 。
本题涉及知识点有4个:函数与图像,导数,切点,极值点。关键是能否看出特殊的切点A既在原函数图像上又在导函数图像上,而极值点B(-1,-1)在原函数图像上,对应点C(-1,0)在导函数图像上,本题注重导数的综合应用。
例4已知关于x的方程 的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率。
(1)求 的取值范围;
(2)若椭圆C以坐标轴为对称轴,短轴长为4且有点P(a,b)在椭圆上,试求椭圆C的长轴长的取值范围。
分析第(1)问
(I)信息的收集:①三次方程有三个实根;②其中一个实根可作为抛物线的离心率;③另二个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率。
(II)信息的加工:①三个实根为 ;② ;③ + )
(III)信息的处理:①令 ;② ,
;③令 ,同时有g(0)>0,g(1)<0得a+b+1>0,2a+b+3<0,④即时信息,建立直角坐标系aob,用线性规划知识可得 。
第(2)问
(I)信息的收集:①以坐标轴为对称轴;②短轴长为4;③点P(a,b)在椭圆上;④长轴长的取值范围。
(II)信息的加工:①分两种情况 ;②由a+b+1=0,2a+b+3=0得A(-2,1);③椭圆C与P(a,b)表示的区域有公共点,点A(-2,1)在椭圆内部。
(III)信息的处理:①点A(-2,1)在椭圆内部, ,得m> ;② 。
本题涉及的知识点有4个:圆锥曲线的标准方程,离心率,根的分布,线性规划。关键是解题入口不能钻入求导误区。思想中隐含方程与函数,分类讨论。本题体现学科内综合,彰显知识迁移,凸显思想方法。
实际上,信息的收集就是人们常说的读题、审题;信息的加工就是根据收集到的信息个性化地转化为数字、图表、式子等;信息处理就是将加工后的诸信息通过某种方法具体地链接,前两者是挖掘试题的内涵与外延,后者是逻辑表述结果,综合起来就是解题过程。