2021年中考数学必考经典题型——二次函数中构造菱形

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菱形存在性问题知识精讲

一、关于菱形的基础知识

1、什么是菱形？

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2、菱形的性质

菱形具有平行四边形的一切性质；

菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

菱形也是轴对称图像，有两条对称轴（对角线所在的直线）.

3、菱形的判定

有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四条边都相等的四边形是菱形.

二、菱形存在性问题解题策略

若将菱形放入坐标系中，则菱形四个点的坐标需满足：

一般情况下，我们解决菱形存在性问题有两种思路：①先证平行四边形，再证菱形；②先等腰，再菱形.

典例一、如图，在坐标系中，已知A（1，1）、B（5，4），点C在x轴上，在平面内任取一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形.

【解答】见解析

【解析】思路1：设点C的坐标为(m,0)，点D的坐标为(p,q)，

①当AB为对角线时，即AB与CD互相平分，且AC＝BC，则

②当AC为对角线时，即AC与BD互相平分，且BA＝BC，则

③当AD为对角线时，则

思路2：先用等腰三角形存在性方法确定点C，再确定点D.

①当AB＝AC时，如图所示：

②当BA＝BC时，如图所示： ③当AC＝BC时，如图所示： 巩固练习（提优）

1． 如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．

（1）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；

（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求处当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

2．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c的图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y交于点C（0，4），连结AC，作直线BC，点M，N分别是y轴与直线BC上的动点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当点M在y轴负半轴时，若∠OMA＋∠OCA＝∠CBA，求CM的长；

（3）点P为抛物线上的一动点，当点P在y轴右侧时，是否存在点P，使以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，若存在，求CM的长；若不存在，请说明理由；

3．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C落在对角线OB上的点E处，折痕与OC交于点D．

（1）求直线OB的解析式及线段OE的长；

（2）求直线BD的解析式及点E的坐标；

（3）若点P是平面内任意一点，点M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4． 如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB＝5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

第1题解析

第2题解析

第3题解析 第4题解析