今年各地的中考题目普遍难度下降了一级。
广州每年的几何与函数压轴题都挺不错。不过考查的知识点和方法往往都是那几类，比较容易被预测或者撞到。
今年仍然是以圆为背景的题目，利用旋转或者对称进行构造辅助线解决问题。
【中考真题】
（2020•广州）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【分析】
题（1）主要是利用圆周角定理及其推论进行解答即可；
题（2）要求面积，由于四边形直接求不好求，所以需要考虑进行转化。
本题的关键条件就是等边三角形。而且点D在三角形外部，所以这种图形就是平时练习中超级常见的类型。只需要进行旋转，或者说截长补短即可。
将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到上图。可以把四边形的面积转化为等边三角形CDH的面积即可。
当然，如果把△BCD绕着点C顺时针旋转60°也是可以的。
题（3）是最短路径问题，求三个动点组成的三角形周长最小。与人教版八年级上课本的课后作业题差不多。就是牧马人先带马去吃草，再到河边饮水，然后回到帐篷。通过对称即可把三条线段化为两点间的线段即可。
【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，
理由如下：
如图1，将△ADC绕点逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH=√3/4CD²，
∴S=√3/4x²；
（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，
∵点D，点E关于直线AC对称，
∴EM＝DM，
同理DN＝NF，
∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，
∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，
则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，
∴△DMN的周长最小值为EF＝t，
∵点D，点E关于直线AC对称，
∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，
∵点D，点F关于直线BC对称，
∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，
∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，
∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，
∴EP＝PF，∠CEP＝30°，
∴PC=1/2EC，PE=√3PC=√3/2EC，
∴EF＝2PE=√3EC=√3CD＝t，
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，
∵CD为⊙O的弦，
∴CD为直径时，CD有最大值4，
∴t的最大值为4√3．
【总结】
