从线段中点突破，构建手拉手模型

从线段中点突破，构建手拉手模型

我们在审题过程中，对于线段上的中点条件，除了得到等分线段结论之外，往往还可以结合线段本身的特征进一步得到更多结论，例如线段是直角三角形的斜边，则得到斜边上的中线；线段中点有一条垂线，则得到垂直平分线；线段是圆内一条弦，则得到垂径定理基本图形；线段是三角形的一条边，且另一条边也有一个中点，极易联想到中位线；线段是等腰三角形的底边，则可得“三线合一”等等。

而利用线段中点可构的辅助线也非常多，其中最常见的莫过于“中线倍长”，用它来构建全等三角形最为合适。

题目

已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于点M，PB与EF交于点N.

(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：

①EB=EP；②∠EFP=30°；

(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°.

解析：

(1)两个含30°角的直角三角形，两个中点，这是本小问条件的大致整理结果，接下来我们来建立它们之间的关联：

①在这两个特殊直角三角形中，∠CAB=∠EDF=60°，可推导出AC∥DE，说明∠BMD=90°或BC⊥DE，同时它和点D是中点结合可推导出DM是△ABC的中位线，即可得到点M是BC中点，再与点E是CP中点结合，进一步得到 ME是△BCP的中位线，可推导出EM∥BP，仍然特殊直角三角形中∠DEF=90°，可推导出∠CNB=90°即EF⊥BP，这足以证明EF是BP的垂直平分线，于是EB=EP；

②根据EF是BP的垂直平分线，可知点B、P关于EF轴对称，根据轴对称的性质，∠EFB=∠EFP，而∠EFB=30°，所以可证明∠EFP=30°；

原本第1问到此已经完结，但是这两个结论不得不令人联想到特殊等边三角形，即图中的△PBF，它究竟是不是的呢？不妨来探究一下，顺便也为下一问作好铺垫。

我们已经证明了EB=EP，再加上∠EFB=∠EFP=30°，所以它是一个等边三角形。

我们将CP，DE分别延长交于点G，再连接CD，如下图：

我们很容易证明△ACD是等边三角形，同时由DE∥BP，得到△DFG也是等边三角形，由△ACD与△DFG联合构成手拉手经典模型，其间△CDE与△GPE全等，这个模型在后面的小问中还将发挥作用；

(2)当D，B，F不共线时，观察∠BFD和∠EFP，它们分别在∠DFE两边，恰恰∠DFE=30°，即证明两个角的和等于某个角，方法也与证明两条线段的和等于某条线段类似，即截长补短，换成角的话我觉得叫截大补小吧！

这个时候再看一眼前面的推导，可见并不多作，至少指明了方向，我们将DE加倍延长，先构造出一对全等三角形，如下图：

用中线倍长法的思路去理解，可证明△CDE≌△PGF，于是CD=PG，∠CDE=∠PGE；

其中CD作为△ABC斜边上的中线，CD=BD，于是便有了BD=PG，这是第一个条件；

由于EF⊥CG且E为DG中点，因此EF是DG的垂直平分线，得到FD=FG，再加上中间还有一个∠EDF=60°，所以△FDG是等边三角形，便有了FD=FG，这是第二个条件；

由于前面已经证明了等边△FDG，所以∠DGF=60°，而∠FGP=60°-∠PGE，而∠FDB=180°-∠ADC-∠CDE-∠GDF=180°-60°-∠CDE-60°=60°-∠CDE，所以可得∠FGP=∠FDB，这是第三个条件；

至此，△FGP≌△FDB，如下图：

解题反思

此题的两个小问方法众多，本文只列举出一种方法供参考，事实上每个人对条件的观测点不同，对定理印象深浅不同，涉及到的突破口也不同，由此造成了解法多样性，当然，此题第1小问本身设置也很好，为诸多方法提供了接口，只要认真审题了，平时用心学习了，总有适合的解法。

第2小问源自于第1小问，如果不在前面进行铺垫重新思考，会走一段弯路，所以就会想，我们在解决几何问题的过程中，并不会总是一帆风顺，但思考过程中，有些正确的结论或者明显的推论，不妨记在草稿纸上，后面的思考也许用得上，甚至某些失败的推导也不要过早放弃，想想为什么失败，怎样才能成功，也是极好的刷经验副本。

本题中，还隐藏一个彩蛋，即△PBF，它始终是一个等边三角形，有兴趣的朋友不妨挖掘下看，有惊喜哦！