各位朋友，大家好！数学世界今天将继续为大家分享初中数学中比较有代表性的题目，希望通过笔者的分析与讲解，能够为广大初中生学习数学提供一些帮助！接下来，数学世界分享一道与圆有关的利用参数构建方程解决问题的综合题，涉及了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识。
一直以来，数学世界都是精心挑选一些数学题分享给大家，希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！下面，数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学综合题）如图，已知F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．
（1）求证：△MFG为等腰三角形．
（2）若AB∥MD，求证：FG^2=EG?MF．
（3）在（2）的条件下，若DF=6，tan∠M=3/4，求AG的长．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
分析：（1）连接OF，利用切线和直角三角形，再结合等角的余角相等，可以得到∠MFG=∠MGF，即可解决问题．
（2）连接EF，运用条件容易证明△EGF∽△FGM，得出线段比例式，即可得出结论，
（3）连接OB，证明∠M=∠FOD，推出tan∠M=tan∠FOD=DF/OF=3/4，由DF=6，推出OF=8，再由tan∠M=tan∠ABH=AH/BH=3/4，假设AH=3k，BH=4k，则AB=BG=5k，GH=k，AG=√10 k，在Rt△OHB中，根据OH^2+BH^2=OB^2，构建方程即可解决问题．
请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（以下过程可以部分调整，并且还有其他解题方法）
（1）证明：连接OF．
∵DM是⊙O的切线，
∴DM⊥OF，
∴∠MFG+∠OFA=90°，
∵BM⊥AD，
∴∠AHG=90°，
∴∠OAF+∠AGH=90°，
∵OF=OA，
∴∠OFA=∠OAF，
∴∠MFG=∠AGH，
∵∠MGF=∠AGH，
∴∠MFG=∠MGF，
∴MF=MG，
∴△MFG是等腰三角形．
∵AB∥DM，
∴∠MFG=∠FAB，
∵∠FAB=∠FEG，
（同弧所对的圆周角相等）
∴∠FEG=∠MFG，
∵∠EGF=∠FGM，
∴△EGF∽△FGM，
∴EG/FG=FG/GM，
∴FG^2=EG?GM，
∵MF=MG，
∴FG^2=EG?MF．
（3）解：连接OB．
∵∠M+∠D=90°，∠FOD+∠D=90°，
∴∠M=∠FOD，
∴tanM=tan∠FOD=DF/OF=3/4，
∵DF=6，
∴OF=8，
∵DM∥AB，
∴∠M=∠ABH，
∴tanM=tan∠ABH=3/4=AH/BH，
设AH=3k，BH=4k，
则AB=BG=5k，GH=k，AG=√10 k，
在Rt△OHB中，
∵OH^2+BH^2=OB^2，
∴（8-3k）^2+（4k）^2=8^2，
解得k=48/25，
∴AG=48√10 /25.
（完毕）
这道题属于圆的综合题，考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活利用参数构建方程解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。