前兩天有朋友發了兩道題目，幾何求值的問題。
【題1】
如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=30°，AC平分∠BAD，AB=1，AD=2，則AC的長度是
A.5-√7
B.2+√7
C.3+√7
D.2√7
大家可以先思考一下再繼續！
根據題目的已知條件，可以先構造一個ΔABD，兩邊長分別為1，然後它們的夾角為120°，並作它的角平分線。
然後再以BD為邊構造等邊三角形，以另外一個頂點為圓心畫圓，且與上面的角平分線交於點C。
可以發現這個四邊形的形狀、大小都是確定的。
那麼一定是可以求出所有的邊長。而且題目中有較多的特殊角，因此可以考慮構造特殊的三角形進行求解。
根據上圖可以發現點O就在AC上（A、B、O、D四點共圓，對角互補，且OD=OB，而∠DAO=∠BAO，所以O一定在AC上），那麼只需求出OA與OC即可。
先構造直角三角形，求出BD=√7，然後得到OD=OC=√7。
再作垂線段DE，得DE=√3，那麼得到AE=1，OE=2，
所以結論就是AC=3+√7。
還有其它解法嗎？
根據題目中的120°和30°，容易想到四點共圓。但是對角不互補，沒有辦法。
因此，可以考慮以BC為邊作∠BCE=30°，另一邊交AB的延長線於點E，如上圖所示。
此時，可以發現四邊形AECD四點共圓。
再將ΔACD繞點C逆時針旋轉60°。易得ΔACF為等邊三角形。
BE=DB=√7，而AB+EF=AB+AD=3。
所以答案就是3+√7了。
但是上面有一個bug，也就是CD和CE是否相等呢？會重合嗎？
上面的分析中無法直接得到這個結論。因此需要換一種説法。
在題目的圖中，直接將ΔACD繞點C逆時針旋轉60°並落在ΔFCE上，並連接AF。
易得ΔACF為等邊三角形，且∠CAF=∠CFA=∠CAB=60°，所以點B在線段AF上。
設CE於AF交於點E′。由於∠DCE+∠DAB=180°，那麼可以得到∠ADC+∠AE′C=∠CE′F+∠AEC=180°，則點E與E′重合，E也在AF上。
那麼算法就是上面的算法了。
當然，將ΔACB繞點C順時針旋轉60°也可以的。
本質上，本題是一個半角模型問題的延申。如下圖所示。
等邊三角形ACF中，∠BCE=30°，且與AF交於點B、E。然後將ΔECF繞點C順時針旋轉60°得到的一個圖形。
這樣題目就出來了。
當然，我們可以做適當的變形。
把等邊改成等腰直角三角形就可以了。
如上圖所示，∠DAC=∠E′AC=∠DCE′=45°，AD=3，AE′=4，求AC的長。
上面這道變式有思路嗎？
【題2】
如圖所示，在三角形ABC中，AB=4，BC=2√3，點E在AC邊上，點D在BE邊上，且∠ABE=∠CAD=30°，∠ADC=90°，求BD的長。
如下圖所示，過點D作DF⊥BD於點D，連接CF。
易得三角形ADB相似於三角形CDF，然後得到∠DAB=∠DCF，所以可以得到A、C、D、F四點共圓，易得∠AFC=90°。
把已知條件代入，易得CF=4/√3，那麼就可以利用勾股定理得到BF的長度為2√15/3，那麼DF=√15/3，則BD=√5。
其實，還可以在右側進行構造。如下圖所示。
以BD為邊構造一個含30°角的直角三角形，然後連接AG。相當於把三角形ADC繞點D旋轉一定的度數，使得CD落在BD上，並放大使得點C的對應點與B重合。
也就是旋轉並放大。然後連接AG。
易得上面兩個綠色的三角形相似，相似比為√3，那麼AG=6，可以得到BG=2√5，則BD=√5。
怎麼樣？
有沒有什麼收穫呢？