各位朋友，大家好！數學世界今天將繼續為大家分享初中數學中比較有代表性的題目，希望通過筆者的分析與講解，能夠為廣大初中生學習數學提供一些幫助！接下來，數學世界分享一道與圓有關的利用參數構建方程解決問題的綜合題，涉及了切線的性質，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質以及解直角三角形等知識。
一直以來，數學世界都是精心挑選一些數學題分享給大家，希望由此激發學生們對數學這門課程的學習興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！下面，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，已知F為⊙O上的一點，過點F作⊙O的切線與直徑AC的延長線交於點D，過圓上的另一點B作AO的垂線，交DF的延長線於點M，交⊙O於點E，垂足為H，連接AF，交BM於點G．
（1）求證：△MFG為等腰三角形．
（2）若AB∥MD，求證：FG^2=EG?MF．
（3）在（2）的條件下，若DF=6，tan∠M=3/4，求AG的長．
切線的性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑．
推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．
推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
圓周角定理推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等。
分析：（1）連接OF，利用切線和直角三角形，再結合等角的餘角相等，可以得到∠MFG=∠MGF，即可解決問題．
（2）連接EF，運用條件容易證明△EGF∽△FGM，得出線段比例式，即可得出結論，
（3）連接OB，證明∠M=∠FOD，推出tan∠M=tan∠FOD=DF/OF=3/4，由DF=6，推出OF=8，再由tan∠M=tan∠ABH=AH/BH=3/4，假設AH=3k，BH=4k，則AB=BG=5k，GH=k，AG=√10 k，在Rt△OHB中，根據OH^2+BH^2=OB^2，構建方程即可解決問題．
請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！
解答：（以下過程可以部分調整，並且還有其他解題方法）
（1）證明：連接OF．
∵DM是⊙O的切線，
∴DM⊥OF，
∴∠MFG+∠OFA=90°，
∵BM⊥AD，
∴∠AHG=90°，
∴∠OAF+∠AGH=90°，
∵OF=OA，
∴∠OFA=∠OAF，
∴∠MFG=∠AGH，
∵∠MGF=∠AGH，
∴∠MFG=∠MGF，
∴MF=MG，
∴△MFG是等腰三角形．
∵AB∥DM，
∴∠MFG=∠FAB，
∵∠FAB=∠FEG，
（同弧所對的圓周角相等）
∴∠FEG=∠MFG，
∵∠EGF=∠FGM，
∴△EGF∽△FGM，
∴EG/FG=FG/GM，
∴FG^2=EG?GM，
∵MF=MG，
∴FG^2=EG?MF．
（3）解：連接OB．
∵∠M+∠D=90°，∠FOD+∠D=90°，
∴∠M=∠FOD，
∴tanM=tan∠FOD=DF/OF=3/4，
∵DF=6，
∴OF=8，
∵DM∥AB，
∴∠M=∠ABH，
∴tanM=tan∠ABH=3/4=AH/BH，
設AH=3k，BH=4k，
則AB=BG=5k，GH=k，AG=√10 k，
在Rt△OHB中，
∵OH^2+BH^2=OB^2，
∴（8-3k）^2+（4k）^2=8^2，
解得k=48/25，
∴AG=48√10 /25.
（完畢）
這道題屬於圓的綜合題，考查了切線的性質，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活利用參數構建方程解決問題。温馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。