一道高難度數學競賽題，一個方程3個未知數，正確率只有1%

大家好！今天和大家分享一道高難度的初中數學競賽題(題目見下圖)。據説當時這道題的正確率只有1%，不少網友看後直言這十多年的數學白學了。

下面我們一起來看一下這道題。

題目中有3個未知數，但是隻有一個方程，要知道3個未知數一般需要3個方程才能解出來。如果只有這個方程，那麼求出的解往往不唯一，所以題目中要求求出一組正數解即可。那麼這道題究竟該怎麼解呢？

我們先來看一道更簡單的題目。

解法1：

先將原方程去分母。可以得到xy=2(x+y)，又因為2=1×2，所以可設x=a，y=2a，再代入方程可以就可以求出a的值。a的值算出來後，x、y的值也就算出來了。當然，x、y的值可以互換。

解法2：

這類題實際上還有一個更加簡單的方法：分解質因數。

因為2=1×2，所以分子分母同時乘以(1+2)，然後後再裂開即可得到答案。過程如下圖：

做到這兒，細心的同學會問：如果分母有幾種不同的分解方法，那麼得到的答案就不一樣了，也就是説方程的解並不唯一。

不錯，事實上確實如此。比如我們看一下後面的這道題。

這題和上題很像，只是把分母由2變成了6，但是答案就更多了。

比如按照6=1×6，那麼分子分母同時乘以7，再裂開可以得到一組答案。

如果按照6=2×3，那麼分子分母同時乘以5後再裂開又可以得到一組答案。過程見下圖：

總結：如果分母為一個質數，那麼最終得到的答案是唯一的(x、y可互換)；如果分母為合數，那麼得到的答案將不唯一，而且分母有幾種分解方法，就可以得到幾組解。

再回到這道競賽題，相信很多人已經找到解題方法了。

第一種方法：

因為219=1×3×73，所以分子分母同時乘以77，然後再裂開即可得到一組解。當然，x、y、z的數值還是可以互換，也就是説雖然是一組數據(231、5621、16863)，實際上相當於9組解。

第二種解法：

題目要求拆成3個數相加的形式，我們也可以先拆成兩個數相加，然後把其中一個數再拆成另外兩個數相加的形式。

比如219=1×219，那麼分子分母同時乘以220，再裂開後即可拆分成兩項。然後將其中一項再按照這個原則進行拆分，即可得到一組答案。

第二種解法相對於第一種解法來説，可以得到更多的答案。

比如上圖中，220可以拆成1×220，還可以拆成2×110，4×55，5×44，10×22等多種形式，每種形式得到的答案也不一樣。

另外，219除了可以拆成1×219，還可以拆成3×73，那麼後面得到的答案又不一樣了。所以這道題的答案並不唯一。

這道高難度的競賽題，正確率只有1%，你會做了嗎？