高中數學：圓錐曲線知識整理

解析幾何的基本問題之一：如何求曲線（點的軌跡）方程。它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定係數法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法、交軌法、參數法等求軌跡的方法外，通常設法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程。因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點座標有關的方程（等量關係），側重於數的運算，一是尋找與動點有關的幾何條件，側重於形，重視圖形幾何性質的運用。

在基本軌跡中，除了直線、圓外，還有三種圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線。

1、 三種圓錐曲線的研究

（1）統一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集：，其中F為定點，d為P到定直線的l距離，F，如圖。

因為三者有統一定義，所以，它們的一些性質，研究它們的一些方法都具有規律性。

當0

（2）橢圓及雙曲線幾何定義：橢圓：，雙曲線。

（3）圓錐曲線的幾何性質：幾何性質是圓錐曲線內在的，固有的性質，不因為位置的改變而改變。

定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上

橢圓及雙曲線中：中心為兩焦點中點，兩準線關於中心對稱；橢圓及雙曲線關於長軸、短軸或實軸、虛軸成軸對稱，關於中心成中心對稱。

定量：

（4）圓錐曲線的標準方程及解析量（隨座標改變而變）

舉焦點在x軸上的方程如下：

總之研究圓錐曲線，一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數形結合，既熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質，以簡化運算。

1、 直線和圓錐曲線位置關係

（1） 位置關係判斷：△法（△適用對象是二次方程，二次項係數不為0）。

其中直線和曲線只有一個公共點，包括直線和雙曲線相切及直線與雙曲線漸近線平行兩種情形；後一種情形下，消元后關於x或y方程的二次項係數為0。

直線和拋物線只有一個公共點包括直線和拋物線相切及直線與拋物線對稱軸平行等兩種情況；後一種情形下，消元后關於x或y方程的二次項係數為0。

（2） 直線和圓錐曲線相交時，交點座標就是方程組的解。

當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法。

4、圓錐曲線中參數取值範圍問題通常從兩個途徑思考，一是建立函數，用求值域的方法求範圍；二是建立不等式，通過解不等式求範圍。