一道高難度的經典幾何題，知道考查相似三角形，但就是證不出來

中學階段，數學主要包括了代數和幾何兩大部分。幾何雖然有圖形作為輔助，看似更加直觀，但是對於大部分學生來説，幾何卻比代數更難，而幾何的難點又在輔助線，特別是有點題目需要多條輔助線才能求解。今天就和大家分享一道高難度、經典的初中幾何題。

題目：在△ABC中，∠A=10°，∠C=70°，點D為邊AC上的一點且∠ADB=30°，求證：BC/BD=CD/AD。

在初中階段，要證線段的比相等，最常用的方法就是證相似三角形，但是此題卻很少有同學證出來，甚至難住了很多學霸。那麼我們先看看能否將這四條線段分到兩個三角形中？比較容易看到，BC、CD在△BCD中，BD、AD在△ABD中，但是這兩個三角形明顯不相似，所以需要通過輔助線找到其他的相似三角形。

題目中提到了幾個角的度數，所以可以從角入手來找找關係。

因為∠BDC=30°，∠A=10°，所以∠ABD=20°，即∠ABD=2∠A，因此可以從二倍角的方向思考。這兒可以有兩種做法：

一是做∠ADM=10°且與AB交於點M。此時∠BMD=20°，所以DM=BD；

二是以BD為半徑過點D作圓，交AB與M，連接DM。此時同樣可以得到∠ADM=10°。

如下圖：

經過上面的輔助線，已經將BD轉化為了DM，接下來就是對BC進行轉化。怎麼轉化呢？

以BC為邊在△BCD做一個等邊三角形BCN，連接DN，則有BC=DN。

因為∠BCD=70°，∠BCN=60°，所以∠DCN=10°。接下來如果能夠求出∠CDN=10°，那麼就可以證出△CDN∽△DAM。

接下來如何求出∠CDN的度數呢？

因為∠CNB=60°，∠CDB=30°，所以這實際上是一個隱圓問題，即B、C、D三點在圓N上，也就是説DN=CN，所以∠CDN=∠DCN=10°。

根據上面的過程可以得到：∠DCN=∠ADM，∠CDN=∠DAM，所以△CDN∽△DAM，所以就有：CN/DM=CD/AD，即BC/BD=CD/AD。

這道題的難度非常大，主要體現在三個方面：

第一、通過角度關係找出存在二倍角這個隱含條件，然後通過二倍角的關係做輔助線；

第二、做正三角形也不容易想到；

第三、不容易看出隱圓模型。

正是這三點，加大了題目的難度，雖然知道要證相似，但就是證不出來，甚至不少學霸也是望而卻步。你做出來了嗎？