各位家長和同學，大家好！今天，數學視窗（數學世界）開始給大家分析講解初中數學幾何題，這道題考查了垂徑定理，圓周角的性質，切線的判定，直角三角形的性質，以及平行線的性質等知識。下面，我們就一起來看這道例題吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦DE垂直半徑OA，C為垂足，DE=6，連接DB，∠B=30°，過點E作EM∥BD，交BA的延長線於點M．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：EM是⊙O的切線；
（3）若弦DF與直徑AB相交於點P，當∠APD=45°時，求圖中陰影部分的面積．
（1）首先連接OE，由弦DE垂直半徑OA，根據垂徑定理可得出OA垂直平分弦DE，以及弧AD與弧AE相等，求得CE的長。再根據圓周角求出相關角度，進一步得到OC與OE的關係，然後根據直角三角形的性質，求得∠OEC=30°，通過勾股定理，即可求得⊙O的半徑；
（2）根據平行線的性質求出∠M，再根據直角三角形的性質得到∠MEO=90°，即可證得EM是⊙O的切線；
（3）由∠APD=45°，根據在等圓或同圓中，同弧或等弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半，即可求得∠EOF的度數，然後根據S陰影=S扇形EOF-S△EOF，即可求得陰影部分的面積．
解答：（以下的過程可以部分調整，並且可能還有其他不同的解題方法）
（1）連結OE，（連半徑）
∵DE垂直OA，
∴CE=1/2DE=3，弧AD＝弧AE，
∵∠B=30°，
（等弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半，）
∴∠AOE=2∠B=60°，
∴∠CEO=30°，OC=1/2OE，
由勾股定理得
OC^2+CE^2=OE^2,
即（1/2OE）^2+9=OE^2,
∴OE=2√3，
即⊙O的半徑是2√3；
∴∠M=∠B=30°，
∵∠M+∠AOE=30°+60°=90°，
∴∠OEM=90°，即OE⊥ME，
∴EM是⊙O的切線；
（3）連結OF，
∵∠APD=45°，OA⊥DE，
∴∠EDF=45°，（直角三角形的性質）
∴∠EOF=90°，
（同弧所對的圓周角等於所對圓心角的一半）
∵S陰影=S扇形EOF-S△EOF，
∴S陰影=1/4π（2√3）^2-1/2（2√3）^2
=3π-6，
即圖中陰影部分的面積是3π-6.
（完畢）
這道題是關於圓的綜合題，有一定難度，綜合性很強，考查了垂徑定理，切線的判定，直角三角形的性質，以及平行線的性質等知識。解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，以及輔助線的作法。温馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家給數學視窗留言或者參與討論。