一元二次方程有了新解法！其實一千多年前古阿拉伯解法更妙

2019年末，一則數學新聞在網絡上炸了，炸裂的原因是“一元二次方程”又有了新解法！

眾所周知，一元二次方程本屬於初中的數學知識，其解法有配方法，因式分解法，公式法等。各類方法中，配方法有其硬核的討論，公式法有其複雜的造型，還有飄逸的因式分解法，其神秘的氣質令初中生又愛又恨！一元二次方程的解法已然成為數學基礎的基礎，如此基礎的的方法竟然在21世紀又誕生了新解法，勢必會賺足了眼球！

“一元二次方程新解法”的發明人叫羅伯森，是卡內基梅隆大學華裔數學教授、美國奧數教練，並且羅伯森教授表示：“如果這種方法直到今天都沒有被人類發現的話，我會感到非常驚訝，因為這個課題已經有4000年的歷史了，而且有數十億人都遇到過這個公式和它的證明。”

事實上，在古代，全世界的數學家對一元二次方程都有研究，雖然也沒有一模一樣的方法出現，但是究其內涵，有些古代的解法與羅教授的解法可謂是大同小異。原因也不難想，古代的數學家們沒有韋達，更沒有代數的符號記法，而現如今羅教授的解法確實有“踩肩膀”的嫌疑。那麼這個方法到底含金量多高，我們不做量化的評斷，不妨為大家帶來一場一元二次方程的解法PK，我們一起來欣賞一下古今數學大神的精彩表演。

2019年的新解法

有請第一位選手登場，掌聲歡迎羅教授！為了更加形象直觀，我們通過一個例子來説明該方法。

對於一元二次方程：X2－8X＋12=0，先假設該方程的根是R和S，

那麼必會有：X2－8X＋12=（X－R）（X－S），

將右側展開得：X2－8X＋12=X2－(R S)X RS，

左右對應相等，得：R S=8；RS=12，

關鍵的部分來了，由於剛剛得到它們的和是8，則R和S的平均數是4，故方程的根可設為4 K，4-K，又因為RS=12，則（4 K）（4-K）=12，則16-K2=12，則K=2（-2也是一樣的結果），從而得到方程的兩個根，4 2=6和4-2=2。方程解完！對於二次項係數不是1的情況，就先把二次項係數化為1，然後再進行以上操作。

當這個解法公之於眾之後，各地紛紛發來聲音，有人説這個解法簡直太好了，再也不用死記硬背那個變態的公式了，再也不用苦苦的尋找那個配方的小尾巴了。當然也有來自中國學生的聲音：這不就是十字相乘法嘛，解個方程哪要這麼多步，我們需要的不是如何解方程，而需要如何短時間，正確的解方程！還有人認為，這就是韋達定理的小應用而已，並且韋達定理的表現形式要更為一般化。

無論如何，我們不得不佩服羅教授思維的新穎性，可謂“舊知識”和“新邏輯”的巧妙結合！

古阿拉伯的解法

提到古阿拉伯數學，不得不提一個重量級人物--阿爾·花剌子模。“代數”一詞本源於公元825年的一本用阿拉伯語寫的書名，其作者就是花剌子模。沒錯，他就是我們今天登場的第二位選手。實話實説，當第一次看到羅教授的解法的時候，本人第一時間想到的就是阿爾·花剌子模，這個阿拉伯人對方程的理解簡直是登峯造極！

阿爾·花剌子模在書中提出一個問題：“一個平方和十個這個平方的根等於三十九個迪拉姆，它是多少？”是不是看起來太繞了？由於當時代數符號根本沒有發明，古代數學的方程只能靠文字去描述，我來幫大家解釋一下，設這個數是X，那麼“平方”就是X2，“平方的根”就是將X2在開方，故“平方的根”是指“X”，“十個這個平方的根”就是10X，問題轉化為求方程：X2 10X=39的解。（不得不佩服數學符號對數學的意義，如此簡短的符號和冗長的文字形成了鮮明的對比！）

花剌子模給出的解法是：（注意：下文中的“根”，不指現如今方程的根，而指平方根）

①將根的個數減半。本題中，是將10減半，故得到5；

②用5乘自己，再加39，得到64；

③取64的根，即將64開方，得到8；

④再從中減去根的個數的一半，即再用8去減5，得到3，方程解完。

有些小朋友發現了問題，因為一元二次方程的根有2個，這都丟解了啊！莫要慌張，大數學家怎麼能犯這麼低級的錯誤呢，由於當時的人們普遍不接受負數，自然沒有考慮負的情況。如果可以出現負數，那麼在③的時候，將64開方，直接得到±8，然後再都去減5，自然得到了兩個根，3和﹣13。今天借用歷史傳統，我們這裏仍然不談負數的情況，指考慮平方根的正根情況。

下面對花剌子模的解法套上今天算式：

我們也可以看出，花剌子模所研究的方程就是二次項係數為1的二次方程，即x2 bx c=0，把上述方程的解法套上係數為字母的情況：

如果考慮到正負兩個平方根，再考慮到二次項係數不為1的情況，這就是現代版的求根公式！

當第一次看到花剌子模方程解法的時候，本人是非常的不淡定，這種解法怎麼能夠想到呢？簡直太需要腦洞了，不僅我這麼想，相信與他同時代的人也都有此疑問，所以花剌子模並沒有止步於此，他覺得應該為大家做出一個合理解釋，於是他想到了一個證明方法，並且考慮到其他同仁的知識水平，這個方法必須大家都能接受，事實上，他找到了，這個方法就是幾何法，沒有什麼比圖形更容易讓人理解了！

方法如下：

①構造一個邊長為X的正方形，和一個長和寬分別是X和10的長方形，那麼它們的面積之和便是X2 10X；

為了解X2 10X=39這個方程，就是當圖形面積是39的時候，邊長X是多少？

②將矩形一分為二，也就是分成2個5X，然後將其中的一個5X平移到下方。此時的面積仍為39；

③將右下角缺失的正方形補全，容易知道虛線的小正方形邊長為5，面積為25；

④此時大正方形的面積為39 25=64，那麼大正方形的邊長即為8，再將8減去5自然求得X=3。解畢！

可以看出在花剌子模的計算方法中，每一步都和他的幾何證明嚴格對應，讓人心服口服！花剌子模後，許多數學家也都在研究二次方程，從9世紀到16世紀，凡是關於代數的書幾乎都是以“X2 10X=39”這個為開始去討論方程，如果二次方程界要拜祖師爺的話，那麼花剌子模必定是第一人選！

中國古代的二次方程

我國曆史上有很多傑出的數學家，比如祖沖之，秦九韶等大家都耳熟能詳的名字，我們古代的數學重點在於“算”，可以説算學是異常的發達，經常令西方數學家瞠目結舌。既然要算，那麼對於“二次方程”必然有所涉獵！對於中國的二次方程的解法，我們大致介紹兩個時間節點的貢獻，第一，《九章算術》，第二，《勾股圓方圖》。

①《九章算術》卷九，中有一題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門二十步有木，出南門一十四步折而西行一千七百七十五步見木，問邑方几何？答曰：二百五十步。”

翻譯：如圖，DEFG是一座正方形小城，北門H位於DG的中點，南門K位於EF的中點，出北門20步到A處有一樹木，出南門14步到C，再向西行1775步到B處，正好看到A處的樹木，求小城的邊長．

原文也給出瞭解法：“以出北門步數（20）乘西行步數（1775）倍之為實，並出南門步數（14）為從法，開方除之，即邑方。”上文中的“實”指的是常數項，“從法”為一次項係數。從而可得二次方程：X2 (20 14)X-2·20·1775 = 0。至於這個方程是如何解出的，文中只有“開方除之”就把這個方程解決了，留給後人無限的遐想！當然這也非常符合《九章算術》的一貫作風，給個問題，配個答案，剩下的自己去想！後來劉徽在給《九章算術》作注的時候，也只是對為什麼要如此列方程做出了合理的解釋，至於如何解方程，依然是沒有提及。

②公元3世紀的數學家趙爽在注《周髀算經》的時候，不僅給出了勾股定理的完美幾何證明，同時也給出了二次方程的解法！其中的一段論文説：“其倍弦為廣袤合，令勾、股見者自乘為其實。四實以減之，開其餘所得為差，以差減合，半其餘為廣，減之於弦，即所求也。”

這裏對抽象的文言不做過多解釋，如果方程可以寫成：X2-bX c=0的形式，則方程的根為X=（b-√b2-4c）/2。可以看出，這幾乎就是二次方程的求根公式，是二次項係數為1的時候。更厲害的，“其倍弦為廣袤合”指的是兩根的和為b，“令勾、股見者自乘為其實”指的是兩根之積為c。説的就是根與係數的關係，完全是簡配版的“韋達定理”，要知道這個結論可比韋達要早1300多年，所以也有人稱趙爽為“中國的韋達”。

求根公式的發現

世界各地對二次方程的研究均有所涉及，那麼我們所熟悉的二次方程求根公式是何時才問世的呢？説出來可能會嚇您一跳，直到1768年，大數學家歐拉在《代數學入門》中給出了現在中學課本中的求根公式，這也是這個公式的首次問世。

雖然各路大神對二次方程都有獨到的見解，但始終難有一個萬能的公式去“一統江湖”，甚至在16世紀50年代，韋達已經提出了“韋達定理”，完美詮釋了根與係數的關係，18世紀初，牛頓提出了二次方程的根與其判別式之間的關係。

求根公式為什麼卻遲遲沒有問世？

其實擺在數學界面前的有兩座大山，一個負數，一個是虛數。幾千年來，人們普遍不接受這兩個“怪物”的存在，在計算中儘可能的去迴避它們。比如負數，生活中真的看不見，摸不着，自然就不需要它們的存在。又比如虛數，那看起來更縹緲了，什麼數的平方是-1？自然是沒有的，本來負數就夠牽強了，何況還要對它進行開方運算！問題就卡在了這裏，如果接受了負數，就必須讓負數擁有“合理的”開方運算，否則數學體系將不完備。人們一直在迴避它們，然而它們又像幽靈一樣，在計算中總是讓人避之不及。

直到19世紀中期，數學家對代數方法的研究越來越完善，代數方程的研究演變成代數系統的研究，人們終於接受了負數和虛數，那麼求根公式就應運而生！

從二次方程的歷史中我們可以看出數學發展的趨勢，在古時候，人們是為了解決一個問題而去做的數學研究，而現代數學目的是研究某種體系和結構，數學的進步在於其體系的逐漸完善，而不是僅僅是解題方法的增多！