計算出乎意料 | 和樂數學
本文原發表於《中國數學會通訊》。
幾年前的一天，我在一家書店裏閒逛，碰巧遇到過去學奧數的學生 Q。當時他已讀了大學，我問他是不是讀數學系。頓時，他像觸了電一樣，眼睛裏露出一絲畏懼，分不清搖頭還是在快速抖動，一邊説道：“呃，數學！再也不碰了……”
這個世界上被數學嚇到的人何止千萬。其實也難怪，就説初等數學吧，那也是歷史上的智者們琢磨幾千年的知識體系，要一個現代人十多年就掌握，一定是不太容易的。何況我們平常在學校裏學的數學只是海面上的冰山，奧數才是海底下的部分；大學數學和前沿數學研究的關係也差不多吧。畏懼數學的人，往往都是那些本來希望自己在數學上能夠進步、可以完全聽明白一些難題的解答過程卻自己永遠不大會做的人。也許，當一個人太晚發現自己不適合某件事的時候，想到已做了那麼多的努力，多少會感到一些沮喪。
然而事實上絕大多數人無論幹什麼事，無論多努力，都不可能達到頂尖水準。每個人都身處兩套評價體系，一套來自社會，一套來自內心。兩者永遠存在差異，但不可嚴重衝突或一家獨大，否則就產生自戀、自欺、自卑、妒忌等等糟糕心態。奧數本該是奧妙數學的一部分，能感受奧妙就等於懂得了欣賞。因此，奧數本身並沒有錯，錯的是我們一旦用不正確的心態對待它。
下面就舉幾個有趣的例子，多半是新的結果，雖未必稱得上匪夷所思，也有點出乎意料。
1
神奇數字 2184
“六親不認”是一個有名的成語，形容不通人情，對親屬都不顧，有時也指對誰都不講情面。一般含貶義。當然在生活中，這個詞往往也具有誇張的意味。
有一道有名的奧數題：任意連續 5 個正整數中，必有一個與其他 4 個都互質。開個玩笑説，這叫“四親不認”。
我們知道，定義兩個正整數相隔“遙遠”——如果從加法的角度看——只要看它們的差就可以了，差越大表明相隔越遠；但從乘法的角度看，互質不妨是一個判定的標準。所以有了意大利粒子物理學博士保羅·喬爾達諾的《質數的孤獨》。因為任意兩個質數都一定是互質的，作者形象地用質數這一數學概念來形容兩人孤獨的狀態，“有情人難成眷屬”。2008 年該書一經出版，即獲得意大利最高文學獎斯特雷加獎，暢銷全球。
“三親不認”太簡單了，不能當作奧數題；“四親不認”就完全不同，需要做些討論，不是很簡單。進一步探究發現，“五親不認”“六親不認”等都是正確的，似乎“五親不認”也確實被人採用作試題。
於是，在一次數學會議上，有人提出了一個猜想：“對任意若干個連續正整數，必有一個與其他所有數都互質”，我把它稱為“ 親不認”猜想。
不難想象，隨着 的上升，討論的複雜程度也不斷上升，因此，如果不引進新的想法，這問題做下去可沒完沒了。
另一方面，我們也有點懷疑這個猜想的正確性，難道正整數果真如此“冷酷無情”嗎？
後來在某一天，我遇到了張浩。他告訴我説，在 等於十幾的時候，產生了反例，但反例究竟是什麼，他沒有細説，那天大家也有事，我沒有追問。
又過了若干年，我把這事給集訓隊的學生説了。不久之後，有人就找到了反例。
這個反例是從 2184 開始的，一直到 2200，總共 17 項。也就是説，這連續 17 個數中，已經沒有一個數與其他所有數都互質了，“16 親不認”不成立。
具體如下：
，，，，
，但是對於 2201 就不對了，因為 。
這個例子似乎並不難找，因為只要把握住四五個數就可以了；但實際上是不太容易的，首先是個信心的問題：你怎麼知道反例在 的時候會出現呢？
德國著名數學家克羅內克説過：“上帝創造了自然數，其餘一切都是人為。”自然數確實奧妙無窮，有很多問題至今人們無法解決，普通人能夠理解的最著名問題，莫過於哥德巴赫猜想和 問題了。
克羅內克以不接受康托爾的集合論而出名，據説這也極大影響了康托爾：不僅使康托爾找不到好的工作，而且精神也出了嚴重狀況。不過話也得説回來，如果“上帝創造了自然數，其餘一切都是人為”是胡説八道，也就不會被當作一句名言流傳至今了。
最近在讀《徐利治訪談錄》。徐老説當初數學界為把 mathematics 翻譯成“數學”還是“算學”而進行了大討論，結果旗鼓相當，最終翻譯成數學，有約定俗成的原因。但我認為，數學比算學更具“純數學”的味道，告訴人們不要忘記純粹數學之奧妙。
因此，在本節末再進一步追問：除了 17 個連續正整數，還有哪些數有反例，反例的數是否無限？
2
算術-幾何平均不等式
著名的算術-幾何平均不等式，每一個學數學的人都知道。
這個不等式不僅具有美觀的特點，而且十分有用，因為它體現的是最基本的兩種運算——加法和乘法——之間的關係，更確切地説，是加法對乘法的“限制”。它也是第一個均值不等式，而不等式理論的核心，就是均值不等式。
記得國外一位著名科普作家説過，如果有個外星文明只發明瞭加減法，那麼他們就不會提出費馬大定理了。這説法極其有理，如果只有加減法，數學立刻就幾乎沒了難度，甚至根本就不能成為一門學問，而有了乘法，數學就變得很困難，不僅是數論和代數，也和幾何相關：面積、體積和維度，還有旋轉，等等。
只要想想初中整式加減和因式分解之間的難度差異，就能明白這一點。在數論中，正是由於因子分解的極端困難，還可以用來編制密碼；在混沌和動力系統等領域，乘除法也扮演了關鍵角色。
人們總是運用豐富想象力來研究這些運算之間的深刻關係。比如蘇聯著名物理學家 L.朗道看到哥德巴赫猜想時就驚呼：素數是用來相乘的，不是用來相加的！有意思的是，與他同時代的德國著名數學家 E.朗道是研究哥德巴赫猜想的權威。
目前對加法和乘法關係最深刻的理解莫過於 abc 猜想，如果望月新一是正確的，那麼他的成就將超過費馬大定理的解決，但如果這個猜想深過哥德巴赫猜想，那麼從理論上説，它似乎應該在哥德巴赫猜想之後得到解決。
看來有必要將克羅內克的話做些補充：“上帝創造了自然數，其餘一切都是人為；但若人類遲遲不創造四則運算，上帝也必定會告訴人類。”
不等式也是如此。在整個初等代數領域，它甚至要難過因式分解，因為後者畢竟還是恆等變換，可以暴力搜索，而不等式“非理性”多了，加減乘除全都混在一起，複雜程度遠超因式分解。
是 個非負實數，則 ，誰都知道，這就是的算術-幾何平均不等式，有人偏要研究下面的加強問題：
求最大的正數 ，使得恆有
成立。
容易知道， 。
不易得到， ，這是我從一本書上看到的。
如果你以為 具有簡單的表達式，那就大錯特錯了！
首先想知道的是 等於幾？
有一次在外吃飯時，點完菜後無事可幹，就向服務員要張紙和一支筆——這種事我幹過幾次，覺得打發時間不亞於看手機。
結果最終出來了， 似乎是 ，後來回家又仔細驗了一下。
這就比較出乎意料了，那麼 呢？想必不會是什麼簡單結果。
在同一本書裏，有如下結果：
真是“不算不知道，一算嚇一跳”啊！這決非靠上菜前那點時間做得出來了，作者確實是採用計算機軟件的幫助。
接下去的問題顯然是，對於一般的
，
求 。好吧，顯然不會容易，不過能給出一個好的界也不錯。
關於算術-平均不等式，還有另一個耐人尋味的問題，這回跟正整數有關。
這個世界一到“三”，就意味着複雜。最著名的就是三體問題、三維龐加萊猜想，生活中還有“三個女人一台戲”的説法呢。三個數列的排序不等式也是如此。
設 ，， 都是
，
的排列，求 的最小值。
如果只有兩列，即 都是 的排列，求 的最小值，這個問題幾乎沒難度，根
據排序不等式，這個值為
但是，如果是三列呢？
首先，比較容易想到的是，根據算術-幾何平均不等式，有 ，問題的關鍵在於， 究竟是不是一個好的下界？
這似乎令人難以置信，因為算術-幾何平均不等式對於正實數才比較精確，而對於正整數這種很大的限制，看來不太可能。
然而奇蹟還是發生了，至少對於 ， 都是極好的下界，誤差不超過 2 甚至 1！
比如 時，，而實際最小值是 162，我把這道題提供給國家隊測試用。前國家隊教練、復旦大學教授舒五昌發現了，研究了 的情況，此時 ，實際最小值是 930，接近的出乎意料！
在小於 10 的情形，6 和 10 比較耐人尋味，其他情形一般都是[] 1，這就根本沒難度了！
如果 是一個好的下界，那麼由斯特林公式，我們猜想：，這裏 e 是自然對數的底，但是，不敢相信有這麼好的結果——當然， 看來是存在的，如果這個結果成立，説明算術-幾何平均不等式“極強”。無論如何，這是一個有趣而困難的問題。
3
一個圖形劃分問題
再舉個幾何的例子。
有一種完美正方形，曾經激起數學家們的興趣。
如果一個正方形能劃分出大小不同的小正方形，就稱其為完美正方形。數學家們一度花了很大精力都無任何結果，以至於 1930 年蘇聯著名數學家魯金猜想，完美正方形不存在。莫倫對此猜想提出了挑戰，並提供了一個解決思路：通過完美矩形來構造完美正方形。1939 年，斯普拉格按莫倫的構想成功構造出一個 55 階的完美正方形，其邊長為 4205。這樣一來，全平面也可以劃分成大小不同的正方形了。
1978 年，杜伊維斯廷藉助計算機技術，構造出一個 21 階的完美正方形，邊長為 112，它是唯一的。杜伊維斯廷同時還證明了：低於 21 階的完美正方形不存在。這個例子很有名，此處就不詳述。
人們為什麼對正方形特別感興趣呢？
原來，當 時，很容易證明，不可能把一個正 邊形劃分成若干小正 邊形。但是在 時，這種劃分無疑是有的，但都是些平凡的結果。不過，有一個結果是不平凡的：
不可能把一個正三角形劃分成大小都不同的小正三角形。
這個結論的證明是不太容易的。換句話説，只有完美正方形，沒有完美正三角形！
更匪夷所思的是，只要不是正三角形，任意三角形都可以劃分成與之相似的、大小不同的三角形！即存在完美非正三角形！
這是近年來國外的一道賽題。有趣的是，對於非正三角形，還要分情況討論下。一般而言，只要分成 6 個小三角形就可以了，但是，與三邊長分別為 或 相似的三角形，或許非要“大卸八塊”才能做到。 究竟是什麼數呢？我做了計算表明：
呵呵，有意思吧？如果沒有數學計算，誰能猜得到？數學的一大特點就是彌補了人們直覺上的不足，但數學也需要直覺。我覺得這是相輔相成的，具體説，是計算彌補了人類直覺的不足，而一個問題或理論的價值，則需要大師的直覺；美感更是與直覺聯繫在一起。計算的重要性一點也不容貶低，因為往往需要計算出新結果後，才能觸發新的直覺。
順便一提，完美立方體是不存在的，即不可能把一個立方體劃分成大小各不同的小立方體；但是完美立方體還有另一種定義，就是稜長、面對角線長、體對角線長都是正整數的立方體，可惜至今未能找到。這也是數論中一個小有名氣的問題。
我還想到另一個著名的平面鋪砌問題，它使一位家庭主婦永載數學史冊。
馬喬麗·賴斯於 2017 年 7 月 2 日去世，享年 94 歲。她只有中學學歷。1975 年的一天，她看到兒子訂閲的《科學美國人》，對馬丁·加德納的一篇文章產生了興趣。這篇文章説的是五邊形密鋪平面的問題。所謂密鋪平面，當然就是指一系列全等圖形將整個平面鋪滿，既無重疊，也無空隙。這類問題曾引起阿基米德、亞里士多德、開普勒、開爾文、希爾伯特、彭羅斯等大師的興趣。而用同一種凸多邊形密鋪平面只是其中的一個問題。人們早就發現，任何三角形和四邊形都可以密鋪平面，但只有三種六邊形可以密鋪平面，而超過六條邊的多邊形，就不可以密鋪平面了。
剩下的就是五邊形的問題。
五邊形的情形特別複雜。1918 年，萊因哈特發現了五種，按類別編號為 1，2，3，4，5。直到 1968 年，克什納才發現了另外三種，編號為 6，7，8。1975 年，詹姆斯發現了一種，編號為 10。這時，賴斯在悄無聲息地研究這個問題，1977 年，她一口氣向數學界宣佈了四種新的密鋪方式，編號為 9，11，12，13，這對於數學界來説真是意外的驚喜！
歷史上，費馬是著名的業餘數學家。人們曾一度以為，在今天專業分工如此之細的世界，已不存在業餘數學家了，所謂的業餘數學家都是胡説八道的“民科”，雖然這種觀點在絕大多數情況下都是對的，但賴斯的出現否定了這種觀點，堪稱數學界的超級“黑天鵝”現象。
也許賴斯的發現太多、也太不易了，要想再有新的突破是難上加難。直到 1985 年，才由斯坦發現了第 14 種。而又過了整整 30 年，也就是到 2015 年，由華盛頓大學數學系副教授曼夫婦及學生馮·德勞組成的團隊，利用計算機的力量才發現了第 15 種！
但人們還是沒有辦法證明只有 15 種，目前也沒找出新的密鋪方式。在奧數中有的題某人做不出很正常；但在數學中如果有一個難題大家都久攻不克，那就不是智力的原因，而是一個不斷交流以等待時機成熟的問題。這個看似簡單的五邊形密鋪平面就是這樣的問題。此外，還有更復雜的密鋪空間問題。由此我也悟出一個道理：數學是個體與羣體結合得非常好的事業，數學家社會為避免兩種極端傾向做出表率——既沒有那種完全扼殺個體的集體主義，也沒有宣揚個性、自我膨脹到抹殺才能的程度。今天的世界依然沒有擺脱狹隘的極端功利主義——那種擁有資源、權力、金錢的優越感。那將來呢？
4
數學“四十二章經”擷趣
馬丁·加德納無疑是現代最偉大的數學科普大師，相信他漫長的一生一定過得非常充實、幸福。就在他在世時，第 2587 號小行星以他名字命名，這樣的榮譽即使大數學家也很難得到，而且往往是死去以後，如高斯、祖沖之等。
霍金在《時間簡史》序言中有一句著名的話：據説每添加一個公式就要嚇跑一半讀者。他説希望自己的書裏僅有的愛因斯坦質能公式不要嚇跑那一半潛在的讀者。這是霍金式的幽默。其實，一個數理科學愛好者是絕不會被公式嚇跑的，反而會覺得公式很有趣，常常更為清晰地表達出來。當然通篇公式肯定也不行。《數學都知道》裏有一些公式，安排得可謂恰到好處。讓我們試舉一例來欣賞一下。
數學中有一種 golygon，是塞洛斯創造的。它是一個平面 邊形，可以是凹的，但不能自相交，且放在平面直角座標系中是一個格點多邊形。每條邊都平行或垂直於座標軸，長度是 的一個排列。
容易證明 是 8 的倍數。那麼，這種 邊高立多邊形一共有多少個呢？比我們想象的驚人得多，比如當 =32 的時候，總共有 510696155882492 個！此處的圖選自《數學都知道》第二冊。
塞洛斯和瓦迪等人得到一個漸進公式：
邊高立多邊形的數量級為 。注意這裏竟然出現了 ！
誰説數學中沒有魔術？
説到大家熟悉的 ，《數學都知道》也專門有提到， 是個永遠説不完的話題，永遠有新鮮的內容。
書中提到了拉馬努金關於 的著名級數，其實關於 的公式多的不計其數，有幾個大家不大見到的書中也提到了，比如較新的貝利-波爾温-普勞夫公式等。
關於數學是天然的還是創造的，引發了數學究竟是發現還是發明的爭論，似乎可以得出這樣的結論：數學確實是人腦的產物，但不是隨意的產物——它跟具體哪個腦袋無關，因此數學兼有發現和發明的特點。數學和科學本身只是在陳述事實，無關價值，但人們的選擇必定出於價值。有個説法非常貼切：研究數學是為了人類心智的榮耀，而不是個人智力的證明和比拼。數學確實很奇怪：別的自然科學是面臨問題需要解決，比如原子的結構，意識是什麼，如何攻克頑疾等，醫學不大會自己找事幹，製造兩個新病毒玩玩，但數學完全不同，沒有數學家“吃飽飯”找個問題玩，數學就不會長成參天大樹。
當然，數學中數不清的有趣結果，並非都具有重大理論意義；而具有重大意義的數學，一定是優美的、奇趣的數學的一個真子集。我們要為每一個這樣的發現而慶賀，只要能為這個世界增加一點點美。現在人們還集中於感官上的美，不太能接受精神上的、理性上的美。即使有少數人在呼籲，理想卻難以實現。現在新的希望來了，人工智能技術 AI 只要不失控，就一定能帶給人類極大的好處——讓人們從一些枯燥繁重的工作中解放出來，從工作中可能出現無聊的矛盾中解脱出來，轉而去思考數學、藝術或哲學問題，使人們的精神得到充實，從“目的論者”漸漸變為“過程論者”，從而找到生活更高的意義。AI 有可能真正實現人類的“終身學習”“書香社會”。就人類的發展規律看，從來都不是一步一步勻速前進的，而是積聚一段時間之後，突然就能實現。
5
擁抱理念世界
一年到頭忙忙碌碌，最近有點空了，突然想到在網上看了幾遍《知無涯者》。電影拍的還是挺感人的。哈代扮演者艾恩斯還是奧斯卡影帝；拉馬努金的扮演者帕特爾也不錯，雖歷經坎坷，眼神裏從未失去堅定和自信——或許因為歷史使命感吧。年輕的數學直覺天才最終得到認可，卻又英年早逝。怪不得扎克伯格等硅谷大佬看了這部電影，熱紅了眼眶。
我給學生上奧數課。每個學期結束，通常都會在黑板上寫下拉馬努金計算 不可思議的公式，看到一些很大的自然數通過無窮級數能組合出 ，教室裏總是突然變得異樣安靜，即使是幾個比較牛、愛顯擺的學生也流露出驚訝的眼神，有人甚至用手機拍下來，也有極個別人早知道它。
拉馬努金公式當然比前面提到的高級得多，但是從欣賞的層面上説卻是類似的。
可惜的是，Q 同學在過度競爭的環境下，儘管順利進入大學，沒有遭遇慘敗，但也影響到心態，從而遠離數學。數學在他眼裏不是藝術，而是面目有點可憎的東西。這樣的學生想必為數不少。最近，迄今唯一獲得菲爾茲獎的伊朗裔女數學家米爾扎哈尼因病去世，年僅四十歲，她説過一句話實在是意味深長：
我不認為每個人都應該成為數學家，但我相信很多人不曾給數學一個真正的機會。
換句話説，不是每個人都能成為職業數學家，但數學思維之美，應該為大家所欣賞。很多大師都認為，數學不僅代表真理，而且具有至高無上的美。我們完全可以像欣賞畫作、音樂一樣地欣賞數學，而不是非得成為大師。任何一件藝術品不僅需要創造者，也需要欣賞者。創造者一定也是欣賞者，欣賞者卻未必是創造者。米爾扎哈尼早逝固然讓人有天妒奇才之嘆，但更可惜的是數學易被曲解，創造者的集合與欣賞者的集合竟然差不多大。有一本《天文愛好者》雜誌，有幾萬的銷量，説明對天文有興趣的人不少，但從事天文研究的人少之又少。數學中沒有那些美麗星空的圖片，數學的普及更難。我讀小學的時候，曾把《十萬個為什麼》天文和動物兩分冊帶到學校去，向同學們炫耀一下，直到讀初中時看到書店裏擺着全套《十萬個為什麼》時，才驚訝居然還有一冊是關於數學的。對於數學有多難有多美，我是略知一二的，數學之美決不亞於天文，但如果數學不能從獨樂樂轉變為眾樂樂，數學家本想跟世界説很多話，最終卻歸於沉默，這的確是很大的遺憾。
對於錯過數學的人，我認為還存在這樣一種可能：多數人對於體能超過自己的人不會太介意，但對於智力超過自己的人就可能會不爽。因此才有《三國演義》裏周瑜被諸葛亮氣死，而武將之間不存在這樣的事。人們崇拜英雄超過天才，而英雄多半是孔武有力的，如武將、俠客、運動員。儘管絕大多數人不可能成為科學大師，跟不可能成為優秀運動員是一樣的；但人們喜愛優秀運動員，體育具有觀賞性是主要原因，此外，人們可以用“頭腦簡單，四肢發達”來安慰自己。這也可以解釋汽車的發明沒有帶來任何疑義——除了黃包車伕下崗了，人們絲毫不因為汽車跑的比人快得多而減低對徑賽的魅力和熱情；但當阿爾法狗戰勝人類的時候，很多國手有點崩潰，不是圍棋本身要完結，而是他們再也不能像過去那樣傲嬌了，哪怕他們比過去幾位大名鼎鼎的超一流選手還要強。
在生活中，還常可以發現這樣的現象：如果某人聲稱自己懂得老莊易佛禪之類的東西，哪怕他並不怎麼懂，也可以瞎吹一通，真正的專家又不屑與之辯論，久而久之他就覺得自己真懂，這些人互相之間還不買賬。但是一到科學尤其是數學，很多人就原形畢露了，他們不敢宣稱自己真懂，於是就只能拋出“數學無用”“搞數學的是傻瓜”之類的恨話。
為何人類如此自欺？對此我一直有點好奇。正如“科學技術是把雙刃劍”，其實數學也是雙刃劍。數學使得人們不那麼容易自欺，這既是好事，也是壞事——因為自欺就像是某種精神上的安慰劑，儘管有毒但時常又依賴它；而數學又似乎是清醒劑，很多人並不喜歡，還不如文科，讓人活在自以為是的世界裏，多好啊。
人類具有比一般動物發達得多的大腦，是迄今唯一具有無限慾望的動物，但人類也是唯一迷信和自欺的動物。羅素十分感嘆地説道，絕大多數人究其一生只生活在這種感性狀態裏，不願意進行一點理性思考。他們未必沒有這種智力，但是缺乏耐心和興趣。也許在遙遠的未來人們還有信仰，但迷信和自欺是一定要消除的東西。導致迷信和自欺的原因，説來也簡單，就是某人不能或不願意正確地認識自己和外部世界。再深究下去，迷信和自欺是社會普遍現象。社會現象比如存在不平等，使人總是感到壓力，體現在教育上也是一樣的：教育資源的不均衡，導致了過度競爭和填鴨式教育，這是很多人遠離數學的重要因素，這種競爭無力改變這樣一個結局：想讓別人膜拜一個人的智商，非得 IMO 金牌級別，競爭反而可能嚇跑很多尚有潛質的數學愛好者；而一個人的情商只要處於中等水平，就可以活的比較滋潤。社會現象的根源我覺得是人性和進化問題，這比較複雜，本文不可能深究了。
對數學敬而遠之的原因之一，也是不願看到在智力比拼中落敗，看到自己與某某某相比一無是處——這是大多數人的結局，但這絕非不能改變，讓大家或多或少欣賞一些數學是完全可能的。過去多數人熱衷權力和金錢，現在不少人被拉到個性和娛樂中去了，其進步是妒忌心理弱化了，但人們忽略才華和品位是不對的。我很感激世上有真正偉大天才的出現，其實接受自己的渺小又何嘗不比自我欺騙更為心安呢。
願生命不息，感動常在。