賣空限制( Short-sell Constraints )+ 異質信念( Heterogeneous Belief )=投機性泡沫( Speculative Bubble )
這個模型是 Harrison 和 Kreps 1978 年提出的。兩位作者認為，假定不允許賣空，那麼持有某項資產的投資者可以從這項資產上獲得兩種價值——資產基本面( fundamental )的價值，以及將資產轉售給其他投資者能帶來的潛在收益。後者可以看做一個轉售期權( resale option )的價值。由於轉售不一定能獲利，故被看做一個投機行為。轉售期權的價值也被看做投機性泡沫。
下面用一個簡單的例子來介紹這個模型。原模型對於廣泛的讀者來説稍顯晦澀，在此用熊偉老師 2013 年一篇綜述裏的例子來闡釋。下圖同樣也來自這篇綜述。
考慮如上圖所示的資產。該資產共存續 3 個時點。在時點 0 發行，在時點 2 實現收益。在時點 1 時，資產等可能地處於狀態 u 或狀態 d 。處於狀態 u 時，有 80% 的可能性實現 100 元的收益，有 20% 的可能性實現 50 元的收益。處於狀態 d 時，有 20% 的可能性實現 50 元的收益，有 80% 的可能性一分錢不值。
容易發現，這個資產相當於在時點 2 以 40% 的概率實現 100 元收益，以 20% 概率實現 50 元收益，以 40% 概率實現 0 元收益。其期望收益為 50 元。
下面考慮兩個風險中性的投資人。易知該項資產的基本面對於兩個投資人來説都是 50 元。我們來看看他們的信念分別是什麼。
二者在時點 0 都對資產保持(0.5，0.5)的信念。即認為資產以相等的可能性進入狀態 u 和狀態 d 。在時點 1 時，投資人甲的信念並不改變，依然認為從時點 1 看過去，時點 2 實現高收益還是低收益的概率相等。但投資人乙觀察到狀態的實現，從而更新自己的信念。假定狀態為 u ，則將信念更新為(0.8，0.2)，即 0.8 的概率獲得兩個可能收益中較好的(對 u 來説是 100 元);假定狀態為 d ，則將信念更新為(0.2，0.8)。
假定雙方都知道對方更新信念的方式。那麼在時點 1 狀態為 u 的情形下，甲對資產的評價是 75 元=0.5*100+0.5*50 ，而乙對資產的評價為 90 元=0.8*100+0.2*50 。由於乙在時點 1 對資產的評價比甲高，因此甲可以以高於 75 元的價格向乙出售該資產。獲利的最高額度是 15 元。
反之，若時點 1 狀態為 d ，則甲對資產的評價是 25 元=0.5*50+0.5*0 ，而乙對資產的評價是 10 元=0.2*50+0.8*0 。這時乙可以向甲以高於 10 元的價格出售該資產，獲利的最高額度同為 15 元。
簡單起見，假定所有價差都被出售者獲得。這樣在時點零，無論是甲還是乙持有這項資產，都相當於持有一個在時點 1 以 50% 的概率可以行權淨賺 15 元的期權。對於風險中性的投資者來説，這個期權的價值是 7.5 元。同時，這個資產的基本面在時點 0 的期望是 50 元。因此這個資產在時點 0 對於甲和乙的價值都是 7.5+50=57.5 元。但是這個資產的期望收益只有 50 元。所以多出來的那 7.5 元“期權價值”，就是這項資產價格的泡沫。
這個模型的漂亮之處在於，在時點 0 ，兩個投資人的信念都是無偏的——無論從哪一個人的信念出發看，這項資產在時點 0 的期望收益都是 50 元。但是在時點 1 ，無論是正確地更新了信念的人還是沒有正確地更新了信念的人，都有機會通過出售資產獲利。而獲利的原因是因為不允許賣空，所以在時點 1 時，不持有資產的人無法從對資產評價的差異中獲利。
硬性或軟性(借入資產成本特別高)不允許賣空的資產有很多。而後來的研究也發現，即使是信念上很小的差異也足以支撐很大的投機性泡沫。而且泡沫和交易量互為正反饋。現實世界中的資產也遠不止三個有效狀態，對資產價值的預期也往往是有偏的。既然一個這麼簡單的資產和兩個精明的交易者就足以產生投機性泡沫了，那麼在更復雜的現實世界中又如何呢?
參考文獻：
Harrison, J. M., & Kreps, D. M. (1978). Speculative investor behavior in a stock market with heterogeneous expectations. The Quarterly Journal of Economics, 323-336.
Xiong, W. (2013). Bubbles, crises, and heterogeneous beliefs (No. w18905). National Bureau of Economic Research