1道高難度希望杯數學競賽題：求三角形面積，數形結合畫圖是關鍵

大家好！本文和大家分享一道“希望杯”數學競賽題：已知a＞0，b＞0，求以√(a²+b²)、√(a²+4b²)、√(4a²+b²)為邊長的三角形的面積。這道題的難度非常大，據説正確率不到1％，其實考查的是中學數學的重要思維：數形結合。

下面我們一起來看一下這道高難度競賽題。

有人説知道了三角形的三邊，要求三角形的面積直接用海倫公式就可以了。現在中學數學教材已經刪除了海倫公式，就算沒有刪除，用海倫公式也很難算出本題中三角形的面積。為什麼呢？我們先看一下什麼是海倫公式。

如果三角形的三邊分別為a、b、c，三角形周長的一半為p，則該三角形的面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。

此題如果要用海倫公式求解，計算量將會非常大，恐怕很少有初中生能得到最後的答案。

海倫公式不能用，那麼這道題該怎麼解呢？這就用到了中學數學常用的數形結合思想。

本題中，我們可以先將後面兩個根式的被開方數進行變形：√(a²+4b²)=√[a²+(2b)²]，√(4a²+b²)=√[(2a)²+b²]。

這樣變換後，所求三角形的三邊都成了兩個數的平方和再開方，這很容易讓人想到初中幾何的重要定理：勾股定理。

由勾股定理可知，直角三角形斜邊長就等於兩直角邊長的平方和再開方，所以所求三角形的每一條邊都可以看成一個直角三角形的斜邊，而且每個直角三角形的直角邊都是知道的，因此可以構造出3個直角三角形。如下圖：

構造出這3個直角三角形後，還需要題目中給出的三角形，這樣才能計算出面積。那麼怎麼構造呢？

觀察一下上面3個直角三角形，可以發現它們的邊長是有很大關聯的，它們的邊長分別為a、2a、b、2b，所以可以用2a和2b做邊長構造一個矩形並取各邊的中點，這樣就可以把上面3個直角三角形全部包含在內，見下圖。

在上圖中，很容易知道EF=√(a²+b²)，DF=√(a²+4b²)，DE=√(4a²+b²)，所以三角形DEF就是題目中的三角形。

要求△DEF的面積，只需用長方形的面積減去另外3個三角形的面積即可。

長方形面積：S1=2a×2b=4ab；

△ADE面積：S2=ab；

△BEF面積：S3=ab/2；

△CDF面積：S4=ab。

所以△DEF的面積：S=S1-S2-S3-S4=4ab-ab-ab/2-ab=3ab/2。

這道題的難度確實很大，不少考生想到了用數形結合，但是卻畫不出圖形，所以解題的關鍵就是畫出圖形，再根據圖形求解。你還有其他方法嗎？