基礎知識點
1：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要點詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關係a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關係，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c22+b2，則△ABC為鋭角三角形）。
3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯繫
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯繫：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
4：互逆命題的概念
如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那麼另一個叫做它的逆命題。
5：勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
規律方法指導
1．勾股定理的證明實際採用的是圖形面積與代數恆等式的關係相互轉化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關係，可以用於解決求解直角三角形邊邊關係的題目。
3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關係：a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解．
我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那麼另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
重要題型
題型一：利用勾股定理進行線段計算
如果單獨考查勾股定理，通常是給我們送分的，非常簡單，我們只有熟記勾股定理的公式、常見的勾股數，以及常見的特殊Rt△的三邊比例，即可以輕鬆解出題目。
【例1】一駕2.5米長的梯子靠在一座建築物上，梯子的底部離建築物0.7米，如果梯子的頂部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多遠（其中梯子從AB位置滑到CD位置）？
【分析】
本題是常見的梯子滑動問題，是勾股定理結合實際問題產生的題型。英對實際問題，我們需要實際問題抽象成簡單的幾何圖形，再利用勾股定理解答。
題目要求梯子的底部滑出多遠，就要求梯子原先頂部的高度AO，且三角形AOB，三角形COD均為直角三角形．可以運用勾股定理求解．
解：在直角三角形AOB中，
根據勾股定理AB2=AO2+OB2，可以求得：
OA==2.4米，
現梯子的頂部滑下0.4米，即OC=2.4-0.4=2米，
且CD=AB=2.5米，
所以在直角三角形COD中，
即DO==1.5米，
所以梯子的底部向外滑出的距離為1.5米-0.7米=0.8米．
答：梯子的底部向外滑出的距離為0.8米．
題型二：勾股定理的證明過程
勾股定理的證明過程同樣是勾股定理的一個常考點。因此我們同樣要熟知勾股定的常見證明過程。這個需要同學們查看課本，回憶整個證明過程。下面給出常見的考題類型。
【例2】《勾股圓方圖》是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖（1））．設每個直角三角形中較短直角邊為a，較長直角邊為b，斜邊為c。
（1）利用圖（1）面積的不同表示方法驗證勾股定理．
（2）實際上還有很多代數恆等式也可用這種方法説明其正確性．試寫出圖（2）所表示的代數恆等式：（ ）；
（3）如果圖（1）大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求（a+b）2的值．
【分析】
（1）如圖（1），根據四個全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積，代入數值，即可證明；
（2）5個矩形，長寬分別為x，y；兩個邊長分別為y的正方形和兩個邊長為x的正方形，可以看成一個長寬為x+2y，2x+y的矩形；
（3）利用（1）的結論進行解答．
解：（1）圖（1）中的大正方形的面積可以表示為c2，也可表示為（b-a）2+4×ab
∴（b-a）2+4×ab=c2
化簡得b2-2ab+b2+2ab=c2
∴當∠C=90°時，a2+b2=c2；
（2）（x+y）（x+2y）=x2+3xy+2y2
（3）依題意得a2+b2＝c2＝13 (b−a)2＝1 則2ab=12
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，即（a+b）2=25．
end
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