遇到線段比例的問題，我們常常可以考慮相似或者三角函數。
今年廣西北部灣經濟區的倒數第2題也是一道以圓為背景的題目。難度不大，但是題目也是值得研究。
【中考真題】
（2020•廣西）如圖，在△ACE中，以AC為直徑的⊙O交CE於點D，連接AD，且∠DAE＝∠ACE，連接OD並延長交AE的延長線於點P，PB與⊙O相切於點B．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）連接AB交OP於點F，求證：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF=1/2，求AE/AP的值．
【分析】
題（1）證明∠OAP為直角即可，難度不大；
題（2）需要證明兩個三角形相似，根據切線長定理與圓周角定理的推論易得∠ADE＝∠AFD＝90°，然後再證明∠AED＝∠ADF（為∠C與∠ODC的餘角）即可；
題（3）屬於本題的核心。已知tan∠OAF的值，那麼就可以得出OF與AF的比值，進而得到AF與FP的比值。
由於題（2）的相似得到∠DAF＝∠DAE，因此圖形是固定的。要求AE/AP的比值並不難。
由於題目並未告知線段長度，因此可以考慮設未知數。根據設小不設大的原則，可以設OF=x或者1，然後表示出其它線段的長度即可。
當然，也可以考慮把比例轉化為相似。因為AP=2OA=AC，所以直接把AE/AP轉化為AE與AC的比值即可。根據相似直接變成AF與FD的比值。
還有，根據角的平分線的性質，作垂線DH⊥AP，然後得出DH、AH和EH的長度即可。
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAC+∠DAE＝90°，
即∠CAE＝90°，
∴AP是⊙O的切線；
（2）連接DB，如圖1，
∵PA和PB都是切線，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，
∵PD＝PD，
∴△DPA≌△DPB（SAS），
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠ABD，
又∠DAE＝∠ACE，
∴∠DAF＝∠DAF，
∵AC是直徑，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠AFD＝90°，
∴△FAD∽△DAE；
（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，
∴△AOF∽△POA，
∴OF/OA=AF/PA，
∴OA/PA=OF/AF=tan∠OAF=1/2，
∴PA＝2AO＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，
∴△AFD∽△CAE，
∴FD/AE=AF/CA，
∴FD/AF=AE/CA=AE/AP，
∵tan∠OAF=OF/AF=1/2，
不妨設OF＝x，則AF＝2x，
∴OD=OA=√5 x，
∴FD=OD-OE=(√5-1)x，
∴FD/AF=((√5-1)x)/2x=(√5-1)/2，
∴AE/AP=(√5-1)/2．
【總結】
解題的時候常常需要剝離現象，抽象出本質。把題目的核心從中抽離出來，再進行研究分析，就發現思路沒有那麼複雜了。
