二元一次方程組——沒有超越經驗的創新，過去“錨”是力量來源

二元一次方程組在初中階段並沒有太多的存在感，考試似乎也不是非常青睞這部分內容。但是這個內容確實連接了多種數學思想和方法，在學習的時候可以和很多知識進行發生關聯。

在學習二元一次方程組之前肯定要先學習二元一次方程。二元一次方程打破了我們對方程的一般認知，學生在接觸二元一次方程之前認為方程的解是確定的、唯一的。二元一次方程的無窮多個解往往讓學生不知所從，對於習慣了有唯一答案的學生來説二元一次方程非常考驗他們的“信心”，因為他們可能會存在着不知道哪個答案是“正確”的或者“更好”。在面臨不確定性的現象的時候，幾乎每個人都會有茫然失措的感覺，讓孩子們體驗一下不確定現象也是非常有必要的。

當然二元一次方程不僅僅有無窮多個答案，還有一個與一元一次方程不一樣的地方，就是方程的解是成對出現的。兩個未知量呈現出的對應關係，以及表達形式和未來要學習的一元一次函數也非常接近，這部分內容可以嘗試讓孩子們意識到成對解的存在，這對於未來理解函數概念是有幫助的。只需要讓孩子們嘗試寫出一個二元一次方程的所有解，就足以給孩子們刻上一一對應、無窮多、有序實數對的印象。這些都可以作為函數學習的錨。

兩個二元一次方程放在一起，發現存在“公共解”的時候，這個解酒是方程組的解。孩子們理解“兩個方程”的公共解，遠遠比我們想象的簡單，他們還沒有太多個人意志很容易達成“共識”。

所以二元一次方程組和二元一次方程組的解非常好理解，不過這裏需要注意一個非常重要的符號：大括號。大括號在數學中一直都是表示“公共”，和交集的符號有異曲同工之妙，只是總是被忽視，以至於很多學生在高年級學習的時候總是忽視大括號的意義，這在用數學語言翻譯實際問題的時候常常會出現不妥當的現象。

當然我們也不能忽視二元一次方程組無法達成共識（無解）和盲從（無窮多解）的現象，儘管遇到的不多，但是還是要讓孩子們知道他們的存在。

在一元一次方程解應用題的時候，初步瞭解如何使用數學語言表示數量關係，初步掌握用等式表示含有未知數的數量關係。對於比較複雜的問題，一個未知量是不夠的，或者會讓數量關係的表示很繁瑣，這個時候可以嘗試用更多的未知量來表示實際問題中的數量關係，去觀察題目中的等量關係。

這個時候需要注意一個問題，很多學生會解方程但是卻不會列方程的原因是“數量關係”沒有搞懂。“數學是研究數量關係和空間形式的科學”，數量關係是數學學習非常重要的內容，比如一些濃度問題學生之所以不會，其實和列方程一點關係都沒有，只是不懂得濃度問題中的數量關係罷了。這個時候需要從孩子的錯誤中發現問題所在，進行針對性指導。

二元一次方程組解決問題，相比一元一次方程來説，由於有更多的未知量表示數量關係，往往列方程會更加簡單（前提是數量關係要明白），而且這部分內容一定要把數量關係當作數學學習中非常重要的內容。

列方程組解應用題算是數學語言的應用與數量關係的分析，而解二元一次方程組則是化歸思想比較直觀的一次使用。化歸思想就是通過某種方式把問題轉化為已經解決過的問題。對於二元一次方程組來説，和它相關聯且又已經解決的問題只有一元一次方程了，二者最大的差別就是一元和二元，那麼如何把二元變成一元則是能否解決二元一次方程組的關鍵所在。

這個時候對於兩個二元一次方程中的未知量x和y的理解就很重要了，我們要的是能夠使得兩個方程都成立的x和y，所以在兩個方程中x和y是一樣的，這樣兩個方程就可以使用加減運算和代入。在這個基礎上就產生了加減消元法和代入消元法。而且這兩種方法可以作為思想遷移到更多元的方程組中。所以很多教程把二者統稱為消元思想。

不管如何，消元法第一次清晰地把化歸思想呈現給學生，作為一個思考的方向在未來的學習中用途是非常廣泛的。比如一元二次方程化歸為一元一次方程，高次方程化歸為低次方程；分式方程化歸為整式方程，無理方程化歸為有理方程……

利用已有的知識經驗解決新問題的化歸思想，對於孩子們的心智形成非常重要。首先他們從舊知識中找到解決新問題的方法，對他們是一種極大的鼓舞，這樣他們在學習的時候會主動把新舊知識發生關聯，這種習慣性的聯繫大大刺激腦神經的發育，從而讓更多的神經元參與到邏輯思維活動中來，這對於智商的提升具有非常多意義。

二元一次方程雖然在教程裏面沒有提及多少，但是二元一次方程的形式和後面的一次函數非常接近，它的解和有序實數對的表示也很接近，這些都是作為新舊知識關聯的點，在形式上一定要對學生強化一下。