不滿於“傳統數學教學”的死記硬背與瘋狂刷題，不少中國家長或教育工作者推崇國外氛圍寬鬆、強調思維創新的“發現式教學法”。但對大洋彼岸的家長而言，無法夯實孩子數學基礎的“發現式教學”存在諸多缺陷，正在毀掉下一代的未來。孩子數學到底怎麼學？其實“中西結合”才是王道。
一個風和日麗的春日下午，在我女兒就讀的加拿大的一所著名私校，佈置優雅的小會議室裏，正在舉行數學課程的家長説明會，起因是家長強烈抗議數學課所謂的創新的計算方法。
空氣中有一股劍拔弩張的味道，平時開會多是媽媽們參加，今天則絕大部分是西裝革履的爸爸們，還有臉色凝重的副校長坐在最後面壓陣。
教學主管略顯緊張地開了個頭：“我知道，你們的孩子對數學沒有信心，家長們也很擔憂……”
“對不起!”一位爸爸舉起手説：“請你不要説孩子們對數學沒有信心，這會嚴重影響我孩子的自信，他從來沒有表現出對數學沒有信心，我也從來沒有這樣説過他。我現在擔心的是，學校的數學教育會不會讓他沒有信心。”
教學主管有點尷尬，趕緊打開PPT開始講解，他列出了這樣一個題：關於248中減去29的方法。
上面左圖是使用傳統用豎式借位減法。右圖是“發現式數學”提倡的創新思維解法，採用容易計算的數字一直計算到248，然後將這些數字加起來得出最終答案。
還沒等教學主管講完，會議室裏已經炸開了鍋。
一位爸爸大聲地説：“為什麼不能按照傳統的算術標準來計算？一個步驟就可以解決的簡單減法要搞得那麼複雜嗎？這種莫名其妙的計算方法，我們誰都不會，更別説小孩子了。”
“是啊，是啊。”座中另外一位爸爸也接着説道：“上個週末我家開派對，一半的客人都是畢業於常春藤大學的電腦工程師，但是，沒有人會做我那三年級女兒的數學作業，這事兒實在是太荒唐了！”
教學主管説：“你們先彆着急，我今天的講座就是要教會你們，然後你們就可以輔導孩子了。”
另一位爸爸站起來生氣地説：“我們為什麼要學你這種可笑的解題方法？我不會你的解題方法，也沒耽誤我在多倫多大學，做那麼多年的數學教授啊！”……
整整三個小時的説明會，憤怒的家長們沒有給教學主管講下去的機會，家長們的質疑和指責讓教學主管狼狽不堪，副校長几次起來阻止都無濟於事。最後，聞訊趕來的校長結束了這場“數學戰爭”。
這是幾十年來，北美家長和學校以及教育部門之間，頻繁爆發的“數學戰爭”的一個縮影。
和中國的”傳統數學”教育方式不同，受杜威的進步教育主義理論影響，北美採用“發現式數學”（discovering math），主張培養學生的探索知識、解決問題的能力，強調的是思維開發和創新。
但是，北美父母則認為應該向中國等亞洲國家學習，迴歸“傳統數學”教育。在上個世紀九十年代，美國各地爆發過很多家長的抗議活動。家長們聯名請願，或競選學區委員會席位，甚至還成立許多組織來抵制“發現式數學”。
自2013年起，加拿大安大略省、艾伯塔省和不列顛哥倫比亞省的家長們不斷向各省教育廳請願，指出‘發現式數學’的危害，要求政府修改課程設置，將更多的重點放在基本數學技能上，而不是在發現或創新策略上。
對國內的父母來説，大家擔心的是：“傳統數學”教育的刷題和死記硬背，往往導致學生缺少創造力和創新能力。而美國數學教學的形式多樣，寓教於樂，生動有趣，也在吸引眾多的數學教育工作者和家長們。
為什麼北美的父母對注重思維創新的“發現式數學”如此反感呢？不僅如此，在北美的歷次“數學戰爭”中，數學家們也是和家長站在一起，呼籲改革數學教育，極力主張採用“傳統數學”。難道注重培養數學思維不對嗎？
要了解這一切，首先得從什麼是“發現式數學”開始。
“發現式數學”如何開發數學思維？杜威(John Dewey)進步教育，主張遵循兒童的天然意願、通過兒童自我探索（self-inquiry）的方式來學習。
所以，“發現式數學”的教學方式是以學生為中心，通過思維開發和解決問題（problem solving）能力訓練，達到培養學生的創新思維的目標。
跟“傳統數學”以老師講解為主不同，“發現式數學”的老師在課堂上講得少，以學生自己思考和探索為主。
“小組討論”（group learning）和“團隊合作”(teamwork)是常用的學習方式，3-5個學生圍成一桌，由老師提出問題，孩子們通過查閲資料，相互討論和合作找到解決方案，最後由老師總結。這種方式既培養了獨立思考、解決問題的能力，又培養了合作精神。
還有項目式學習（Project-based Learning），女兒做過一個裝修房子的數學題，由五個小朋友共同完成。3000元的預算，老師給出了房間的寬度和長度，並要求買一張牀、一個書桌和椅子等若干傢俱。
雖然只涉及到簡單的加減乘除，但是，很考驗解決問題的能力。從日常生活中認知數學概念和原理，有利於學生對知識的理解深度和運用能力。
“傳統數學”要求學生通過枯燥的練習來熟悉和掌握公式、原理和法則；“發現式數學”不主張背誦乘法表和大量重複練習，認為這種死記硬背的方式不僅不利於理解數學概念，還會傷害孩子的創造性。
女兒學校的數學回家作業是不多的，跟中國的題海戰術簡直是天壤之別。
“發現式數學”認為，重要的是理解數學概念、公式和法則背後的邏輯關係，而不是簡單地記住數學知識。所以，老師儘可能不去教授公式或者標準解題方法，而是鼓勵學生自己去推理公式、發現概念和找到解題的辦法。
就小學算術來説，“發現式數學”認為小學生們不應使用傳統的加、減、乘、除的計算方法，而是採用創新的計算方式，甚至自己發明一些新的方法，這樣更有利於開發學生的創新思維。
所以，學生們常常以圖示法、估算法來代替標準的計算方法。
例如5+2，小朋友不會直接給出結果是7，而是會畫冰淇凌、格子、鮮花、各種小動物…… 這種方式直觀又生動，可以幫助孩子理解數字的概念以及加法背後的真正含義，而不像是國內的死做題。
例如3×5，正確做法不是通過乘法口訣直接獲得15，而是通過3+3+3+3+3或者5+5+5的方式，目的在於理解乘法運算背後所包含的邏輯關係，數字的構成規則，從而能夠靈活運用數字。
對較大數字的乘法，通過分解成小題目完成。例如25x44，可以通過將44分為4組（每組11個）和100組（11個）來找到答案1100。
“發現式數學”主張一題多解，來培養學生思維的廣闊性和靈活。例如15 x 12，會要求學生通過以下五種不同方式解決問題：
“發現式數學”通過讓學生不斷自我發現、自我探索和不斷創新，加深對隱藏在數字後面的概念的理解，而不是對算術法則的死記硬背和大量練習。
再看看下面這道題，北美孩子的數學其實一點也不簡單。
這是要求學習2位數字加法的學生玩“如何接近100？”的遊戲，目的是“練習”他們對加法的理解。
在這個遊戲中，孩子們被要求通過不同的方式來使用數字，例如10個骰子為一組和單個的骰子，同時還可以嘗試不同的組合策略。
和“傳統數學”的老師直接教授和學生刻板練習相比，“發現式數學”讓數學的學習過程不再無聊，而是充滿了思維創新的刺激和挑戰，甚至變得很有趣。
雖然教學進度慢，學的內容也少，但是在我看來，花了那麼多時間培養孩子的數學思維和邏輯思維，一旦孩子的批判性思維、創造性思維和解決問題能力建立起來了，日後一定會產生厚積薄發的效應。
這就是為什麼，美國在高科技領域傲視羣雄的原因吧。
“發現式數學”的致命缺陷是什麼？一位女兒同學的家長曾經提醒我，千萬不要被五花八門的創新思維開發給迷惑了，加拿大學校的數學課學不到什麼東西的，學生的基本知識和基本技能很差，想要學好數學，最好去報個課外班。
我當時沒太在意，因為我覺得數學思維才是數學的核心能力。但是，隨着女兒年級的提高，加拿大學生數學基礎之差，不僅超過了我的想象力，也超過了我的承受範圍。
女兒小學一年級才學會如何數到一百，三年級一位數的乘法就可以把她難倒。五年級的時候，10以內個位數的乘法和除法還有問題，我開始擔憂了。
六年級的時候，國內小學生已經加減乘除、分數運算滾瓜爛熟了。女兒只學會15以內的加減乘除，在班上已經屬於數學很好的孩子了。班上大部分孩子單個數的乘法和除法有問題，看到分數更是膽戰心驚。
如果小學生無法構建起基本的乘除法、分數小數、比例和百分比等基礎算術技能，恐怕無法適應中學的代數和幾何學習，更別提什麼創新思維和創造力了。
我不由得倒吸一口冷氣，再看看那些統計數據，更讓我大驚失色。
加拿大2017年安大略省標準化考試結果顯示，只有50%的6年級學生達到省數學標準。
美國的情況也好不到哪兒去，2017年全國教育進步評估：只有33%的初二學生符合年級水平。30%以上的美國理工類大學生必須重新補習中學數學知識，50%學生最終因為數學不行而轉專業。
更讓人憂心忡忡的是，隨着數學在各行各業的重要性日益凸顯，北美學生的數學之差已經直接影響到未來職業前景，可以説，數學不好的學生未來人生前景黯淡。
美國勞工統計局指出：2016年到2026年，從事數學有關職業的就業人數將增長28%。
但是，美國的Business Round table調查發現，3/4的CEO認為找不到合格員工。美國80%的中等技術工種（相當於大專）需要更好的數學和計算機技能，大部分職位處於空缺狀態。
加拿大的情況也非常類似。
為什麼看上去如此完美的“發現式數學”，會是這樣一種結果？
按照美國數學家的解釋是：“發現式數學”在思維開發和解決問題能力上確實有明顯優勢，非常適合培養天才學生，這也就是為什麼美國可以出現那麼多數學牛人和科技大咖的原因。但是卻毀掉了普通孩子的數學能力。
因為“發現式數學”有一個致命的缺陷：過於強調教思維訓練而忽視數學的內容，導致學生缺乏系統性的數學知識和基本技能，從而也使得創新性的教學方法無法達到應有的效果。
例如就小學階段來説，“發現式數學”最大的問題是，大大削弱了算術這塊內容。
算術中包含着豐富的邏輯推理，有了良好的算術基礎，對於培養學生的分析與創造性思維是極其有益的。
對普通學生們來説，只有通過記憶和反覆練習來掌握算術基本技能後，才能培養更復雜的邏輯思考能力，否則根本談不上創新。
而且“發現式數學”提倡用替代性的方式來取代標準計算方法，名義上是創新和探索，這些方法實質上既慢且笨，純屬畫蛇添足；常常由於過於複雜和令人費解，讓大部分學生莫衷一是，最後哪種方法也掌握不了。
1999年全美220名著名教授發表公開信，要求保持傳統數學的標準計算方法，從而引發美國曆史上著名的“數學戰爭”。
但由於“發現式數學”根基深難撼動，在強大的進步教育家面前，數學家們不免勢單力薄，最終在“數學戰爭”中敗下陣來。
更糟糕的是，自從2010年美國頒佈《州共同核心數學標準》，北美的數學教育不僅沒有迴歸“傳統數學”，反而在所謂的創新道路上越來越遠，小學的計算方法越來越難懂，即使是從數學相關領域畢業的父母也無法輔導作業。
這也就是為何會發生本文開頭我女兒學校家長強烈抗議的故事。家長們由於無法輔導孩子的簡單的算術而深陷焦慮，看看推特上美國家長的吐槽：
“當我檢查孩子數學作業時，我總是這樣鼓勵和安慰自己：“你是一個堅強，能幹和聰明的女人”。
“又要輔導我家五年級孩子的功課了，簡直像來到了地獄。”
“我孩子的數學作業是我做的，可是他得了零分。”
“如果有人問我家孩子，是否見過他們的爸爸哭過，我的孩子一定會告訴他們，那是在爸爸輔導數學功課的時候。”
“我兒子喜歡在我送他上學的路上做功課，他以為我可以幫助他。可是我不行啊。”
“我這人啥都不怕，就怕我家那個三年級的孩子讓我輔導數學功課。”
未來社會不僅需要大批的尖端數學人才，普通勞動力的數學素質也成為關鍵因素，數學已經成為每個人立足於社會的核心生存能力。
而“發現式數學”，卻連基本的數學知識都未能教給學生，北美家長的抗議會繼續，圍繞“傳統數學”和“發現式數學”的“數學戰爭”將會曠日持久。
“發現式數學”將何去何從？女兒六年級下學期的時候，我終於按耐不住內心的焦慮，把她送到一家華人辦的數學學校補習。很慶幸這個決定拯救了我女兒的數學，沒有讓她成為“發現式數學”的犧牲品。
加拿大華人開設的數學學校，採用的是“發現式數學”和“傳統數學”相結合的模式。短短几個月，女兒的數學突飛猛進，小學算術運算很快過關，原來學得模模糊糊的那些概念也清晰起來。
和女兒學校不主張大量的課後練習不同，數學學校認為應當刷題，但刷題的目的是為了鍛鍊思考能力，而不是死記硬背。
每星期一次課，作業大概有十道題，除了幾道基本題比較容易之外，其他的題目都有一定難度。這些題都是精心設計的，涵蓋大量的知識點。
孩子在做的過程中，思考層層遞進，像爬山一樣，每步之間都是思維運動的自然進步，每做完一道題的過程，就是一個大量思考的過程，相當於做了幾十道普通題。
數學學校校長跟我説，“發現式數學”鼓勵學生自己探索知識，獨立思考和創新，在數學思維開發上確實有很大的優勢。
相比之下，“傳統數學”傾向於老師的直接灌輸，對學生的啓發不夠，尤其是題海戰術確實傷害了學生的創新性思維。
數學學校有一些國內受過教育的孩子，這些孩子數學成績整體上超過本土的孩子一大截。但是他們的短板也非常明顯，遇到新知識和新問題，往往束手無策，而且不會舉一反三，總是習慣性地等待老師來教。
原因就在於：他們習慣用刷題來熟悉和掌握知識，這種死記硬背的方法沒有培養學生的邏輯思維和抽象思維，所謂的優勢並不能持續很久，等到遇到更多更高級更難的數學知識，會因為數學思維跟不上而感到吃力。
按照數學學校校長的説法，最理想的數學教育就是“發現式數學”和“傳統數學”相結合的模式。
一個有力的證明就是，加拿大數學學校最拔尖的、能拿數學大獎的基本都是本土長大的孩子，他們通過“傳統數學”熟練掌握算術和概念，通過“發現式數學”會鍛鍊邏輯思維能力，創造性地運用數學知識解決問題。
北美奧數國家隊成員基本都是本土長大的華裔，就是這個原因。
事實上，北美數學好的孩子除了參加課外補習學校外，還可以去考一些公立教育系統的精英教育項目，例如加拿大的天才班、IB、Tops和MacS等，而這些特殊教育項目，也都是採取了“傳統數學”和“發現式數學”融合的模式。
北美的數學家們也在討論“傳統數學”和“發現式數學”如何相融合，他們討論了兩種模式分別應當什麼階段實施？或者兩者在學校的教育中，各自應當佔多大的比例。
目前一個比較普遍的觀點是：
小學階段還是以“傳統數學”為主，學生應該通過記憶和練習來獲得基本的知識和技能；
從小學高年級開始更注重思維開發，逐漸轉向“發現式數學”。
約翰霍普金斯大學數學系教授W. Stephen Wilson這樣説：“人們以為能夠在小學的數學課堂裏教會學生創造性。忘掉創造性吧，只要能對直白的問題給出直截了當的解答就可以了。”
温尼伯大學教授Anna Stokke認為，小學應當優先考慮“傳統數學”，有了紮實的基礎知識後，當中學數學變得更加抽象時，學生們就不會再迷失。
Anna教授在2015 年提出了具體建議：
將80%的教學時間用於“傳統數學”，如背誦九九乘法表和做傳統的加減乘除；
20%的教學時間用來進行“發現式數學”，例如使用圖示法和創新的解題方法。
目前，加拿大小學數學已出現向“傳統數學“迴歸的現象。
阿爾伯塔省的小學生開始背九九乘法表；
曼尼托巴省開始向學生教授加減乘除的標準計算方法；
安大略省從去年開始重新推出傳統的數學教學方法，如背誦九九乘法表和加減乘除法等。
可以預見，兩種模式的融合應當是未來北美數學教育的方向。
對渴望在數學思維開發上有所突破和創新的中國來説，應當堅持傳統的“基本知識和基本技能”優勢基礎上，引進和借鑑“發現式數學”的教學方式。
千萬不要拋棄基礎教育階段的現有優勢，全盤追隨“發現式數學”，以免重蹈北美數學教育失敗的覆轍。
參考資料：
1. 蓮溪《是誰奪走了美國人的數學能力》
2. 《伍鴻熙：看着一羣人正在敗壞數學，使我很憤怒——談美國中小學數學教育》
本文轉載自微信公眾號“外灘教育”。文章為作者獨立觀點，不代表芥末堆立場，轉載請聯繫原作者。