2020數學中考題分享之一:要正確作出輔助線並熟練運用垂徑定理
大家好,今天是2020年8月8日星期六。從今天開始,數學世界將持續給大家分享2020年各地的數學中考真題,這次分享一道2020年武漢數學中考題,希望能夠對大家的學習有一些幫助!如果你是來到這裏的新朋友,請翻看以前的文章,希望能夠大家能夠喜歡。
例題:如圖,在半徑為3的⊙O中,AB是直徑,AC是弦,D是弧AC的中點,AC與BD交於點E.若E是BD的中點,求線段AC的長。
我們在做這道題時,要有效利用題中的已知條件,推出解決問題所需要的條件,同時要針對具體問題進行分析,並結合要求的結論進行思考。接下來,數學世界就與大家一起來完成這道例題吧!
分析:我們可以連接OD,交AC於F,根據垂徑定理得出OD⊥AC,AF=CF,再通過證明三角形全等得到DF=BC,根據三角形中位線定理可以求得OF=1/2DF,由於⊙O的半徑為3,從而求得BC=DF=2,再利用勾股定理即可求得AC的長。下面,我們按照這個思路解答此題吧!
解答:連接OD,交AC於F,
∵D是弧AC的中點,
∴OD⊥AC,AF=CF,
∴∠DFE=90°,
∵OA=OB,AF=CF,
∴OF=1/2BC,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
在△EFD和△ECB中,
∠DFE=∠ACB=90°,
∠DEF=∠BEC,
DE=BE,
∴△EFD≌△ECB,
∴DF=BC,
∴OF=1/2DF,
∵OD=3,
∴OF+DF=3,
∴OF=1,
∴BC=2,
在Rt△ABC中,AB=6,
AC^2=AB^2-BC^2,
∴AC=4√2,
即線段AC的長為4√2.
垂徑定理:垂直於弦的直徑平分弦,並且平分弦所對的劣弧、優弧。
垂徑定理的推論
平分弦的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的劣弧或優弧。
平分弦所對的一條弧的直徑垂直於弦並且平分弦所對的另一條弧。
弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弦。
這道題主要考查了圓中的垂徑定理、三角形全等的判定和性質以及三角形中位線定理等,正確作出輔助線並能夠熟練運用性質定理是解題的關鍵。温馨提示:朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法,歡迎大家在下面留言討論。謝謝!