有理函數不定積分，你確定弄懂了？

主要內容

本文，小編以一個不定積分作為例子，來聊聊似易非易、似難非難的有理函數不定積分。

這個不定積分的例子如下:

對於上面這個例子，看上去很容易，但是當自己動手求解起來時卻發現不好做。

總的來説，這個不定積分題目在整個有理函數不定積分題目中是很難的題目了。小編之所以拿出來講，一是希望借這個題目把有理函數不定積分一般的化簡方向告訴大家；二是講述一下考研數學中的逆推思維；三是再次強調下在求不定積分時，極其容易被忽視的定義域問題。

請大家回想下，常見的不定積分中有哪些被積函數是有理函數？如果不記得，沒關係，下面小編給出被積函數是有理函數的常見的不定積分，這些不定積分公式都可以直接應用：

沒錯，有理函數常見的不定積分只有四個，只要記住這四個常見的有理函數的不定積分，所有關於有理函數的不定積分題目都化簡到這四個標準形式上，然後直接運用公式即可。

但是，對於上述不定積分，要如何湊才能湊到上述四種形式的不定積分上去了，且跟隨小編的思路走。首先，要考慮把分母降冪，因為分母是四次多項式，可以考慮降到二次，具體做法如下：

進行到上面這一步後，不好往下進行，因為儘管看上去跟標準形式比較接近了，但是細小的差別卻阻礙了我們繼續進行下去。不過如果假設不定積分就是我們腦海中的理想形式，那麼被積函數的形式應如下：

從上面這個可以很容易計算出來的不定積分，我們可以逆推得到對應的、原始的不定積分形式如下：

顯然，題目中的不定積分可變成兩個不定積分的差了：

對於上述分解開來的不定積分，第一部分已經計算得出，關鍵在與第二部分。事實上，關於第二部分的不定積分，我們完全可以參照先前的思路去解決。

因此原題目答案貌似是：

但是，做到這裏，還是沒有做完，因為定義域問題沒有考慮到。原不定積分中被積函數在x=0點是有定義的，而在求得的原函數中，原函數在x=0點無意義。尤其是在我們在採用上述方法解答前，一定要標明當x不等於0，才能進行上述運算。所以，正確答案應該是：

當然，可能有人會問，還需要證明該原函數在原點可導，且導數為0嗎？嚴格來説是需要的，但是因為這是很顯然成立的，所以不證明也無關緊要。