這些立體幾何的方法技巧,收好,實用提分策略

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空間幾何體的表面積和體積相關的問題一直是高中數學的重要內容,如何求稜柱、稜錐、稜台的表面積和體積,一般多采用面積累加的方式求解,特別地,若為正稜柱(錐、台),各側面積相等,可用乘法計算;計算其體積時,關鍵是求底面積和高。

如何正確求出幾何體的側面積和全面積,關鍵要對知識有本質上的認識,如幾何體側面積是指(各個)側面面積之和,而全面積是側面積與所有底面積之和.對側面積公式的記憶,最好結合幾何體的側面展開圖來進行。

應掌握平面基本性質、空間兩條直線、直線和平面、兩個平面的位置關係(特別是平行和垂直關係)以及它們所成的角與距離的概念。同時,要能運用上述概念以及有關兩條直線、直線和平面、兩個平面的平行和垂直關係的性質與判定,進行論證和解決有關問題。

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立體幾何有關的高考試題分析,典型例題1:

已知在四稜錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,且有PB=PD,PA⊥BD.

(1)求證:平面PAC⊥平面ABCD;

(2)若∠DAB=∠PDB=60°,AD=2,PA=3,求四稜錐P﹣ABCD的體積.

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考點分析:

稜柱、稜錐、稜台的體積;平面與平面垂直的判定.

題幹分析:

(1)設AC∩BD=O,則O為BD的中點,由PB=PD,得PO⊥BD,再由已知PA⊥BD,利用線面垂直的判定可得BD⊥平面PAC,進一步得到平面PAC⊥平面ABCD;

(2)由(1)知,平面PAC⊥平面ABCD,可得BD⊥AC,則AB=AD,得到四邊形ABCD為菱形,然後求解三角形可得△POA的面積,再由等積法求得四稜錐P﹣ABCD的體積.

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立體幾何有關的高考試題分析,典型例題2:

如圖,已知三稜錐P﹣ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,PA=PB,平面PAB⊥平面ABC,D、E、F分別是AB、PB、PC的中點.

(Ⅰ)證明:PD⊥平面ABC;

(Ⅱ)若M為BC中點,且PM⊥平面EFD,求三稜錐P﹣ABC的體積.

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考點分析:

稜柱、稜錐、稜台的體積;直線與平面垂直的判定.

題幹分析:

(Ⅰ)由PA=PB,D為AB中點,可得PD⊥AB,再由面面垂直的性質可得PD⊥平面ABC;

(Ⅱ)設PM交EF於N,連接DM,DN,由線面垂直的性質得到PM⊥DN,由已知可得DN垂直平分PM,故PD=DM,求出DM,進一步求得PD.即三稜錐P﹣ABC的高,然後由三稜錐體積公式求得三稜錐P﹣ABC的體積.

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立體幾何有關的高考試題分析,典型例題3:

如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點E是BC邊的中點,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.

(Ⅰ)求證:AB⊥平面ADC;

(Ⅱ)若AD=1,AB=√2,求二面角B﹣AD﹣E的大小.

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考點分析:

二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的判定.

題幹分析:

(Ⅰ) 只需證明DC⊥AB,由AD⊥AB,DC∩AD=D,得AB⊥平面ADC

(Ⅱ) 易得∴CD=√6,建立空間直角座標D﹣xyz,則D(0,0,0),B(√3,0,0),C(0,√6,0),E(√3/2,√6/2,0),A(√3/3,0.√6/3),求出平面DAB的法向量,平面ADE的法向量,求得二面角B﹣AD﹣E的大小為60°。

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