跟孩子們聊數學,經常是一道題就夠了

前些天,我的朋友發來一個鏈接給我看,標題叫《2021,一個平平無奇的數字》,裏面對2021這個數字做了非常多的分析。

跟孩子們聊數學,經常是一道題就夠了
我覺得很好,但是“跟孩子們聊數學”的角度,我建議大家可以試試,就這個數字,跟自己的孩子聊一道題就夠了。

大家當然知道2021是今年的年份數字,在剛剛跨入2021年的這幾天,這個數字是新鮮燙手的,孩子們也是會感興趣的。

不信?你只要寫寫666、520、1314等數字,看看你家小朋友是不是有特別的反應。當然,沒反應的也有,要麼是年幼無知,要麼是善於隱藏。

專注説説跟孩子怎麼聊2021這個數字吧,只要是三年級以上的,就可以試試了。

你可以這樣問

以五年級下冊(人教版在五年級下冊學習“質數”的知識)為界,在這之前的孩子,可以問:

如果2021等於兩個整數的積,那麼這兩個整數除了1和2021,還可能各是多少?也就是請填寫“2021=( )×( ),括號中為1之外的整數)。

如果學習了質數,就直接問:2021是質數嗎?如果是合數,可以怎樣分解?(這兩個問題本質是一個意思)

你要小心觀察孩子的反應,如果他顯示出畏難的樣子,就給他降些難度,可以告訴他:

2021可以分解為兩個兩位數的積,你能算出這兩個兩位數嗎?

不要覺得對2021這樣的數分析很無聊,有一位數學競賽的金牌教練説過:

每年,我們都要把今年的年份數字做各種各樣的分析,徹底瞭解它,以防出現在賽題中。

倒也是,用年份數出題是套路,而對年份數做及時分析是“套路之套路”,堪稱“套路的平方”。

跟孩子們聊數學,經常是一道題就夠了
不過,我試問過多個孩子,孩子們還是很接受這種對“新鮮數字”的研究問題的。

孩子們的解法

在我最近幾天遇到學生的測試中,有以下幾種解法:

1

依次嘗試除質數型

我看一位同學,從2021÷7開始列豎式,依次試驗除以11、13、17、19、21、23、29、31、37、41,終於到除以43時,發現能整除,於是有結論:2021=43×47。

盧老師的點評:

此方法雖“笨”,但一般來説,在孩子羣體中,這種孩子是前幾個得出答案的。

況且,只要觀察孩子們除以哪些數,就可以檢驗他們是否熟悉質數表,是否熟悉一些數的整除特徵,例如不應去嘗試除以3,再如既然不能被3整除,自然也不應嘗試除以9。

這個試除的過程非常值得觀察。有一位三年級的同學洪HY也同樣找到了這個分解,但他由於對質數與整除性性知識並不熟悉,還沒學過,於是他所試過的除數就包括了4、6、7、8、11、13、34等“亂七八糟”的數,但是在試過33之後,他除以43,也就得到了47。

辛LC同學説:

我覺得它不是質數。由2021,我想到了2020。

2020可以被4整除,但2021卻比2020多了一個1,那麼就不能被2020的除數整除,每次除完後都會有餘數。所以它不是。

並且45的平方是2025,所以從40幾開始試算就行了。

盧老師的點評:

嘗試從2021的“鄰居”2020來分析,蠻有道理的。末句指出從40幾開始試除,想到這一點的孩子能夠很快地得出答案。

2

從奇偶性入手分析型

王HX同學説:

∵偶數×奇數=偶數,偶數×偶數=偶數;而2021是奇數,

∴2021=兩個奇數的積。然後一個個試奇數。

盧老師的點評:

思路很清晰,也在一定程度上縮小了嘗試的範圍。

3

從個位數入手分析型

鄭BY同學説:

從2021的個位是1,猜想兩個乘數應當個位上是3、7。試算13×17=221,23×27=621,33×37=1221,於是我就得到了43×47=2021。

盧老師的點評:

相乘得個位1的數並不多,所以真是好辦法,不過也要考慮到個位上9×9=81,1×1=1,乘積的個位也都是1哦。

4

兩端逼近分析型

盛WY同學的解法是:

先試算14×14=196,99×99=9801,50×50=2500。

後來我根據3×7=21,想試算13×17,但沒算,因為明顯積很小。

又試算33×77=2541。時間到了,我就沒完成。

林BH同學的解法兼具3、4兩種:

從3×7=21,並由30×30=900,50×50=2500,40×40=1600,於是我試算43×47,就得到了2021。

成人的解法

我請幾位大人做,有的是老師,其中之一寫了算式給我:

2021=2000+21

      =40×50+3×7

      =40×(43+7)+3×7

      =40×43+40×7+3×7

      =40×43+43×7

      =43×47

盧老師的點評:

咦,蠻妙的。這樣運用乘法分配律分解呀合併呀,也被她解出來了。

還有一位老師的解析過程如下:

當我看到這道題,我先觀察到題目中是“兩個位數相同數的乘積”,所以一定是兩個兩位數相乘。

根據2021個位上是1,可以猜測兩位數的個位上有可能是:1&1,3&7,9&9。

因為2021不能被3整除,所以兩位數也不是3的倍數。

因為3×7=21,當個位數是3&7時,23×87

可以看出,這道題還真是個推理分析的好材料。

嗯,説了半天,盧老師的解法是怎樣的呢?

我的解法會比較特別一些,我從2021很接近的2025出發……

聯想到:2025=45²,所以有2021=2025-4=45²-2²=(45-2)(45+2)=43×47

當然,這種解法是建立在你對“45×45”這種所謂“頭同尾合十”的傳統速算題的速算技巧很熟悉的前提(頭乘頭加1,尾乘尾)下的,或是你本來就很熟悉一些特別數的平方,包括45的平方。

幫大家分析了這些可能的答案與背後的數學道理,接下來就期待您的行動了。把孩子招呼過來,笑咪咪地問問他吧。

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