網上查了下，發現同類文章全是一些純粹的積分推導，大多都沒有太多的物理內涵。因此，決定寫一篇質能方程推導的文章，力求以最簡明的形式表達出最直接的物理內涵，因為是科普，全文將絕對不會出現積分符號。
後面推導必須用到微分符號，但這個很簡單，這裏介紹一下就懂。微分符號d就是求一個量的無窮小變化量的意思。例如，dx就表示變量x的無窮小增量x'-x,x'與x無限接近；df(x)表示函數f(x)的值的無窮小增量，它們的比值df(x)/dx就表示對f(x)求導數，導數就是在變量變化時，函數值的變化相比於變量的變化的快慢程度（比值）。簡單吧！
下面直接給出幾個求導的公式，因為下面的推導過程會用到。
愛因斯坦的狹義相對論建立在狹義相對性原理和光速不變原理的基礎上，也就是説物理規律在任何慣性參考系上都應該是相同的，並且光速在任何慣性參考系上都具有相同的數值。在此基礎之上，愛因斯坦得到了慣性參考系之間的洛倫茲變換，也就是兩個慣性參考系之間同一事件的時空座標的變換關係。進一步，愛因斯坦得到了運動物體質量增加的關係式，見下圖。
由牛頓力學可以知道，速度增加，動能就會增加，那麼在狹義相對論中，速度的增加引起了質量的增加，這會讓我們聯想到，增加的動能會以質量的增量的形式藴含在物體的動質量中。
牛頓力學中，力F與力的作用距離S的乘積代表着能量的傳遞（做功），例如將一塊很重的石頭使勁搬到樓頂去，我們搬運石頭的向上的力與搬運高度的乘積就會使得石頭的勢能增加。由於力是動量P對時間t的導數，距離S是速度V與時間的乘積T，因此約掉時間t，能量就是動量P與速度V的乘積。
因為牛頓的經典力學必須作為狹義相對論在速度遠遠小於光速時的極限近似，因此牛頓力學中能量的定義必須在狹義相對論中成立。這時，我們就可以進行下述推導（如果有不懂的，就看看上文對微分符號及求導的介紹，並注意根號可以寫成指數位置為1/2,常數的導數為0，v的導數為1）：
在上述推導過程中可以看出，動能的增加全部由動量的增加引起，動量的增加則全部由速度的增加引起。由於推導的一開始，求的是動能的無窮小增量，這就等價於我們對動質量進行了微分的操作，因此上述推導中的E就是物體以速度v運動時的總能量，E=mc^2就表明質量與能量通過光速c等價了起來。當速度v取0時，就得到物體的靜能量E(0)=m(0)c^2，物體的動能就是mc^2-m(0)c^2。
如果將物體的能量展開為無窮級數的形式，其中第一項就是m(0)c^2，第二項就是牛頓力學中的動能1/2(m(0)v^2)，後面的所有項在速度遠遠小於光速時，完全就可以省略掉了。這也意味着，狹義相對論是牛頓力學的擴展。
一下午時間，只能簡明到這個程度了，如果沒看懂，請再仔細看看，就會明白，見諒！精通數學的朋友也可以看出，這個推導方法並不常見，但物理內涵會更加明朗！