這道關於圓和菱形的綜合題，新增合適的輔助線構造圖形是關鍵
各位朋友，大家好！數學世界將持續為大家解析初中數學題，希望我的分析與講解能夠對廣大初中生學好數學提供一些幫助！今天，數學世界分享一道有關圓與菱形的知識的幾何綜合題。
一直以來，數學世界都是精選一些數學題分享給大家，目的是希望由此激發學生們學習數學的興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！接下來，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學題 有關圓與菱形的知識）如圖，BD為半圓O的直徑，且BD=8，點A為BD延長線上一點，AE與半圓O相切於點E，連線BE，DE，過點B作BC⊥AE交AE的延長線於點C，交半圓於點F．
（1）求證：BE平分∠DBC；
（2）當AD長是多少時，四邊形BOEF是菱形.
菱形的判定：四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形(對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形）；一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形。
圓的切線的性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑。判定：經過半徑的外端，並且垂直於這條半徑的直線，就是這個圓的一條切線。
分析：（1）因為AE與半圓O相切於點E，所以連線OE是常用的輔助線，再證明OE∥BC，即可推出∠OEB=∠EBC，再證明∠OEB=∠OBE即可得出結論．
（2）首先連線EF，OF，可以推測出當AD=4時，四邊形BOEF是菱形，再根據條件想辦法證明△ODE，△OBF，△OEF都是等邊三角形，即可推出“四邊形BOEF是菱形”成立．
我們想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！
∵AC是⊙O的切線，
∴AC⊥OE，
∵BC⊥AE，
∴OE∥BC，
∴∠OEB=∠EBC，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠EBC=∠OBE，
∴BE平分∠DBC．
（2）解：當AD=4時，四邊形BOEF是菱形．
（以下推理過程有多種不同方法，此處僅選擇一種示範）
理由：連線EF，OF，如圖，
∵BD=8，AD=4，
∴AD=OD=OB=4，
∵∠AEO=90°，
∴DE=1/2AO=4，
∴DE=OE=OD=4，
∴△ODE是等邊三角形，
∴∠EOA=60°，
∵OE∥BC，
∴∠OBF=∠AOE=60°，
∵OF=OB，
∴△OBF是等邊三角形，
∴BF=OB=OF，∠FOB=60°，
∴∠EOF=60°，
∵OE=OF，
∴△EOF是等邊三角形，
∴EF=OE=OB=BF，
∴四邊形BOEF是菱形．
（完畢）